半径1の円の中心Pが原点Oからの距離a (0 < a < 1) にあるとき、Pを中心とする半径1の円とx軸, y軸との交点をそれぞれA, C, B, Dとする。∠POA = $\theta$とおくとき、四角形ABCDの面積Sをaと$\theta$で表し、$\theta$が$0^\circ < \theta < 90^\circ$の範囲で動くときのSの最大値と、Sが最大となる$\theta$の値を求める。

1. 問題の内容

半径1の円の中心Pが原点Oからの距離a (0 < a < 1) にあるとき、Pを中心とする半径1の円とx軸, y軸との交点をそれぞれA, C, B, Dとする。∠POA = $\theta$とおくとき、四角形ABCDの面積Sをaと$\theta$で表し、$\theta$が$0^\circ < \theta < 90^\circ$の範囲で動くときのSの最大値と、Sが最大となる$\theta$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 四角形ABCDの面積Sをaと$\theta$で表す。

点Pの座標は$(a\cos\theta, a\sin\theta)$である。

点Aのx座標は$a\cos\theta + 1$、点Bのy座標は$a\sin\theta + 1$、点Cのx座標は$a\cos\theta - 1$、点Dのy座標は$a\sin\theta - 1$となる。

四角形ABCDは長方形であるから、面積Sは

$S = (2)(a\cos\theta + 1 - (a\cos\theta -1)) (2)(a\sin\theta + 1 - (a\sin\theta -1))= (Aのx座標 - Cのx座標)(Bのy座標 - Dのy座標)$

$S = (a\cos\theta + 1 - (a\cos\theta -1)) (a\sin\theta + 1 - (a\sin\theta -1))$

$S = (a\cos\theta + 1 - a\cos\theta + 1) (a\sin\theta + 1 - a\sin\theta + 1)$

$S = (2)(2) = (Aのx座標 - Cのx座標) \times (Bのy座標 - Dのy座標) = (a\cos\theta + 1 - (a\cos\theta - 1))(a\sin\theta + 1 - (a\sin\theta - 1)) = 2 \times 2 = 4$

四角形ABCDは長方形なので、縦と横の長さを計算する。

縦の長さは、点Aのx座標から点Cのx座標を引いたものなので、$a\cos\theta + 1 - (a\cos\theta - 1) = 2$

横の長さは、点Bのy座標から点Dのy座標を引いたものなので、$a\sin\theta + 1 - (a\sin\theta - 1) = 2$

よって、四角形ABCDの面積Sは $S = 2 \times 2 = 4$

(2) Sの最大値と、Sが最大となる$\theta$の値を求める。

$S = 4$なので、$\theta$の値に関わらずSは常に4である。したがって、Sの最大値は4であり、Sが最大となる$\theta$は$0^\circ < \theta < 90^\circ$を満たす全ての$\theta$である。

3. 最終的な答え

(1) $S = 4$

(2) Sの最大値: 4, Sが最大となる$\theta$: $0^\circ < \theta < 90^\circ$を満たす全ての$\theta$