$a$ は $0 < a < 1$ を満たす定数とする。原点Oからの距離が $a$ である点Pを中心とする半径1の円が、x軸と交わる点をAとC、y軸と交わる点をBとDとする。ただし、点Aのx座標と点Bのy座標は正とする。$\angle POA = \theta$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) 四角形ABCDの面積Sを $a$ と $\theta$ で表せ。 (2) $0^\circ < \theta < 90^\circ$ の範囲で $\theta$ が動くとき、Sの最大値と、Sが最大となるときの $\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は $0 < a < 1$ を満たす定数とする。原点Oからの距離が $a$ である点Pを中心とする半径1の円が、x軸と交わる点をAとC、y軸と交わる点をBとDとする。ただし、点Aのx座標と点Bのy座標は正とする。$\angle POA = \theta$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) 四角形ABCDの面積Sを $a$ と $\theta$ で表せ。

(2) $0^\circ < \theta < 90^\circ$ の範囲で $\theta$ が動くとき、Sの最大値と、Sが最大となるときの $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点Pの座標は $(a\cos\theta, a\sin\theta)$ である。

点Aのx座標は $a\cos\theta + 1$ であり、点Cのx座標は $a\cos\theta - 1$ である。

点Bのy座標は $a\sin\theta + 1$ であり、点Dのy座標は $a\sin\theta - 1$ である。

四角形ABCDは長方形であり、その面積Sは、

$S = (x_A - x_C)(y_B - y_D) = (a\cos\theta + 1 - (a\cos\theta - 1))(a\sin\theta + 1 - (a\sin\theta - 1))$

$S = (2)(2) = 4$

しかし、問題文の仮定「点Aのx座標、点Bのy座標はともに正とする」より、$a\cos\theta > -1$ かつ $a\sin\theta > -1$ である必要がある。

四角形ABCDの面積は、$AC \times BD$ で求められる。

$AC = (a\cos\theta+1) - (a\cos\theta-1) = 2$

$BD = (a\sin\theta+1) - (a\sin\theta-1) = 2$

したがって、面積 $S = AC \cdot BD = 2 \cdot 2 = 4$ である。これは誤り。

点Aの座標は$(a\cos\theta + 1, a\sin\theta)$

点Bの座標は$(a\cos\theta, a\sin\theta + 1)$

点Cの座標は$(a\cos\theta - 1, a\sin\theta)$

点Dの座標は$(a\cos\theta, a\sin\theta - 1)$

よって、$AC = (a\cos\theta + 1) - (a\cos\theta - 1) = 2$

$BD = (a\sin\theta + 1) - (a\sin\theta - 1) = 2$

$S = AC \times BD = 2 \times 2 = 4$ は間違い。

長方形ABCDの中心は点Pであるから、$AC = 2$, $BD=2$は誤り。$AC$と$BD$はそれぞれ、点AとCのx座標の差、点BとDのy座標の差である。よって、$AC = 2\sqrt{1 - (a \sin \theta)^2}$ かつ $BD = 2\sqrt{1 - (a \cos \theta)^2}$

$AC = 2, BD = 2$ ではない。

正しくは、長方形ABCDの縦の長さは $2\sqrt{1-a^2\sin^2\theta}$、横の長さは $2\sqrt{1-a^2\cos^2\theta}$ なので、

$S = 4\sqrt{(1-a^2\sin^2\theta)(1-a^2\cos^2\theta)} = 4\sqrt{1-a^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+a^4\sin^2\theta\cos^2\theta} = 4\sqrt{1-a^2+a^4\sin^2\theta\cos^2\theta} = 4\sqrt{1-a^2+\frac{a^4}{4}\sin^2 2\theta}$

(2)

$S$ が最大になるのは $\sin^2 2\theta = 1$ のときなので、 $2\theta = 90^\circ$, つまり $\theta = 45^\circ$ のときである。

このとき、$S_{max} = 4\sqrt{1-a^2+\frac{a^4}{4}}$

3. 最終的な答え

(1) $S = 4\sqrt{1-a^2+\frac{a^4}{4}\sin^2 2\theta}$

(2) Sの最大値は $4\sqrt{1-a^2+\frac{a^4}{4}}$、そのときの $\theta$ の値は $45^\circ$