3点 $A(1,1,-2)$, $B(2,1,0)$, $C(1,0,-3)$ が与えられている。 (1) ベクトル $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ を求める。 (2) ベクトル $\vec{n}$ が3点 $A, B, C$ を通る平面に垂直であることを利用して、その平面の方程式を求める。

1. 問題の内容

3点 $A(1,1,-2)$, $B(2,1,0)$, $C(1,0,-3)$ が与えられている。

(1) ベクトル $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ を求める。

(2) ベクトル $\vec{n}$ が3点 $A, B, C$ を通る平面に垂直であることを利用して、その平面の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を求める。

$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (2-1, 1-1, 0-(-2)) = (1, 0, 2)$

$\overrightarrow{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (1-1, 0-1, -3-(-2)) = (0, -1, -1)$

次に、ベクトル $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ を計算する。

$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (1, 0, 2) \times (0, -1, -1)$

$\vec{n} = (0\cdot(-1) - 2\cdot(-1), 2\cdot0 - 1\cdot(-1), 1\cdot(-1) - 0\cdot0)$

$\vec{n} = (0+2, 0+1, -1-0) = (2, 1, -1)$

(2) 平面の方程式は、平面に垂直なベクトル $\vec{n} = (a, b, c)$ と、平面上の点 $A(x_0, y_0, z_0)$ を用いて、

$a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ と表される。

今回、平面に垂直なベクトルは $\vec{n} = (2, 1, -1)$ であり、平面上の点は $A(1, 1, -2)$ であるから、

$2(x-1) + 1(y-1) - 1(z-(-2)) = 0$

$2x - 2 + y - 1 - z - 2 = 0$

$2x + y - z - 5 = 0$

したがって、平面の方程式は $2x + y - z = 5$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{n} = (2, 1, -1)$

(2) $2x + y - z = 5$