三角形ABCがあり、辺BC上に点P、辺CA上に点Q、辺AB上に点Rがある。点P, Q, Rは同一直線上にある。AB:RB = 4:1, BC:CP = 2:1のとき、CQ:QAを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、辺BC上に点P、辺CA上に点Q、辺AB上に点Rがある。点P, Q, Rは同一直線上にある。AB:RB = 4:1, BC:CP = 2:1のとき、CQ:QAを求める。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を用いる。三角形ABCと直線PQRにおいて、メネラウスの定理より、

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$$

与えられた条件より、$AB:RB = 4:1$なので、$AR = AB - RB = 4RB - RB = 3RB$。よって、$\frac{AR}{RB} = \frac{3RB}{RB} = 3$。

また、$BC:CP = 2:1$なので、$BP = BC - CP = 2CP - CP = CP$。よって、$\frac{BP}{PC} = \frac{CP}{PC} = 1$。

これらをメネラウスの定理の式に代入すると、

$$3 \cdot 1 \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$$

$$\frac{CQ}{QA} = \frac{1}{3}$$

したがって、$CQ:QA = 1:3$。

3. 最終的な答え

CQ:QA = 1:3