放物線 $y=x^2$ 上の点 $P(t, t^2)$ が、2点 $A(-1, 1)$ と $B(4, 16)$ の間にあるとき、三角形 $APB$ の面積の最大値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2$ 上の点 $P(t, t^2)$ が、2点 $A(-1, 1)$ と $B(4, 16)$ の間にあるとき、三角形 $APB$ の面積の最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、直線 $AB$ の方程式を求めます。直線 $AB$ の傾きは $\frac{16-1}{4-(-1)} = \frac{15}{5} = 3$ なので、直線 $AB$ の方程式は $y-1 = 3(x-(-1))$ となり、整理すると $y = 3x + 4$ となります。

次に、点 $P(t, t^2)$ と直線 $AB$ の距離 $d$ を求めます。点と直線の距離の公式を用いると、

$$d = \frac{|3t - t^2 + 4|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{| -t^2 + 3t + 4 |}{\sqrt{10}} = \frac{| -(t^2 - 3t - 4) |}{\sqrt{10}} = \frac{| -(t-4)(t+1) |}{\sqrt{10}} = \frac{|(t-4)(t+1)|}{\sqrt{10}}$$

となります。ここで、$-1 < t < 4$ の範囲で考えるので、$(t-4)(t+1)$ は負の値をとります。よって、

$$d = \frac{-(t-4)(t+1)}{\sqrt{10}} = \frac{-t^2 + 3t + 4}{\sqrt{10}}$$

となります。

次に、線分 $AB$ の長さを求めます。$AB = \sqrt{(4-(-1))^2 + (16-1)^2} = \sqrt{5^2 + 15^2} = \sqrt{25 + 225} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}$ となります。

三角形 $APB$ の面積 $S$ は、

$$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot d = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{10} \cdot \frac{-t^2 + 3t + 4}{\sqrt{10}} = \frac{5}{2} (-t^2 + 3t + 4)$$

となります。面積 $S$ を最大にする $t$ の値を求めます。$S$ を $t$ で微分すると、

$$\frac{dS}{dt} = \frac{5}{2} (-2t + 3)$$

$\frac{dS}{dt} = 0$ となるのは、$-2t + 3 = 0$ より $t = \frac{3}{2}$ のときです。

$t = \frac{3}{2}$ は $-1 < t < 4$ の範囲に含まれているので、このとき面積は最大になります。

したがって、面積の最大値は、

$$S_{max} = \frac{5}{2} \left( -\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{2}\right) + 4 \right) = \frac{5}{2} \left( -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} + 4 \right) = \frac{5}{2} \left( -\frac{9}{4} + \frac{18}{4} + \frac{16}{4} \right) = \frac{5}{2} \cdot \frac{25}{4} = \frac{125}{8}$$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{125}{8}$