三角形ABCにおいて、AB=2, AC=3, ∠A=60° のとき、以下の値を求めます。 (1) BCの長さ (2) 三角形ABCの外接円の半径R (3) 三角形ABCの面積S

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=2, AC=3, ∠A=60° のとき、以下の値を求めます。

(1) BCの長さ

(2) 三角形ABCの外接円の半径R

(3) 三角形ABCの面積S

2. 解き方の手順

(1) BCの長さを求める

余弦定理を用いてBCの長さを求めます。

余弦定理は $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ であり、この問題では $a=BC$, $b=AC=3$, $c=AB=2$, $A=60^\circ$ なので、

$BC^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$BC^2 = 9 + 4 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 13 - 6 = 7$

よって、$BC = \sqrt{7}$

(2) 外接円の半径Rを求める

正弦定理を用いて外接円の半径Rを求めます。

正弦定理は $\frac{a}{\sin A} = 2R$ であり、この問題では $a=BC=\sqrt{7}$, $A=60^\circ$ なので、

$\frac{\sqrt{7}}{\sin 60^\circ} = 2R$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を代入すると、

$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$2R = \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

$R = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}$

(3) 三角形ABCの面積Sを求める

三角形の面積の公式 $S = \frac{1}{2}bc\sin A$ を用います。

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sin 60^\circ = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $BC = \sqrt{7}$

(2) $R = \frac{\sqrt{21}}{3}$

(3) $S = \frac{3\sqrt{3}}{2}$