平行四辺形ABCDにおいて、辺AD上に点E、辺AB上に点F、辺BC上に点Gがある。三角形EFGは$EF = EG$の二等辺三角形である。$\angle AEF = 30^\circ$、$\angle FGB = 40^\circ$のとき、$\angle x$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺AD上に点E、辺AB上に点F、辺BC上に点Gがある。三角形EFGは$EF = EG$の二等辺三角形である。$\angle AEF = 30^\circ$、$\angle FGB = 40^\circ$のとき、$\angle x$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、平行四辺形の性質から向かい合う角は等しいので、$\angle ABC = \angle ADC$である。また、平行四辺形の隣り合う角の和は180度であるから、$\angle BAD = 180^\circ - \angle ABC$である。

次に、$\angle AEF = 30^\circ$より、$\angle DEF = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$である。

また、$\angle FGB = 40^\circ$より、$\angle CBF + \angle BFG + \angle FGB = 180^\circ$であり、$\angle BFG = 180^\circ - \angle CBF - \angle FGB$。

$\triangle EFG$は$EF = EG$の二等辺三角形であるから、$\angle EFG = \angle EGF$である。

$\angle FEG + \angle EFG + \angle EGF = 180^\circ$であるから、$\angle EFG = \angle EGF = (180^\circ - \angle FEG)/2$となる。

平行四辺形なので、$AD // BC$より、錯角が等しいので、$\angle AEG = \angle EGC$。

$\angle AEF = 30^\circ$なので、$\angle FEG = x$となる。よって$\angle EFG = \angle EGF = (180^\circ - x)/2 = 90^\circ - x/2$。

$\angle FGB = 40^\circ$より、$\angle GBC = \angle ABC$

$\angle BFG = 180 - 40 - \angle CBF = 140 - \angle CBF$

$AB // CD$なので、$\angle FAB + \angle ADC = 180^\circ$

ここで、$AD//BC$より、$\angle FGB=40^\circ$なので、$\angle AEB=40^\circ$ (錯角)。しかし、これはあり得ないので、$\angle ABC = \angle ADC$の平行四辺形ABCDより、$AE // BG$である。したがって$AE//BG$なので、$\angle AEF=30^\circ$より、$\angle EGB=30^\circ$ (錯角)。ゆえに、$\angle EGF=180-40-30=110^\circ$となる。しかし、$EF=EG$なので、$\angle EGF=\angle EFG=90-x/2$より、$90-x/2=110^\circ$。

平行四辺形なので、$AD//BC$より$\angle FGB=40$なので$\angle AFG=40^\circ$ (同位角)。$EF = EG$より、$\angle EFG = \angle EGF$なので、$\angle EFG = \angle EGF = (180 - x)/2 = 90 - x/2$。$\angle AFG = 180 - \angle EFG=180-(90-x/2)=90+x/2=40^\circ$なので、$x$の値は負となる。

平行四辺形の性質より、$AD || BC$であるから$\angle FGB = 40^\circ$より$\angle AEF = 40^\circ$となるはずだが、$AEF=30^\circ$なのでこれはおかしい。

問題文より$\angle FGC = 40$なので$\angle GAD = 40$なので、$\angle GCB=40$。$\angle FGB=40$なので$\triangle BFG$は$BF=GF$の二等辺三角形。$AD//BC$より、$\angle FGC=40^\circ$なので、$\angle DEG=40^\circ$となる。

$\angle FGE=180 - 40 = 140$より、$x + \angle AFE+\angle CGE = 360$

四角形AEFGの角度の合計は360です。$30+\angle AFE+x+40=360$

$\angle AFE = 180-30-x = 150-x, \angle EGF = 40$, $\angle FGE+x = 180$.

$\angle EFG=40$, $\angle FGE+x+30+40=180$, $EF=EG$

$\angle FGE = 90^\circ-x/2$

$\angle ADC = \angle ABC$なので、$\angle FEG =x =70$

3. 最終的な答え

70°