半径1の円にAB=ACの二等辺三角形ABCが内接している。 (1) $\angle ABC = \theta$とするとき、三角形ABCの周の長さ$l$を$\theta$の式で表す。選択肢から適切なものを選ぶ。 (2) $l$の最大値$l_{max}$を求める。$\frac{dl}{d\theta}$の式と、最大値を与える$\theta$を求める。

1. 問題の内容

半径1の円にAB=ACの二等辺三角形ABCが内接している。

(1) $\angle ABC = \theta$とするとき、三角形ABCの周の長さ$l$を$\theta$の式で表す。選択肢から適切なものを選ぶ。

(2) $l$の最大値$l_{max}$を求める。$\frac{dl}{d\theta}$の式と、最大値を与える$\theta$を求める。

2. 解き方の手順

(1)

円の中心をOとする。$AB = AC$より、$\angle ABC = \angle ACB = \theta$である。

$\angle BAC = \pi - 2\theta$となる。

正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin(\pi - 2\theta)} = 2 \cdot 1$

$BC = 2\sin(\pi - 2\theta) = 2\sin(2\theta)$

同様に、

$\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = 2 \cdot 1$

$AB = 2\sin \theta$

$AC = 2\sin \theta$

よって、$l = AB + BC + AC = 2\sin\theta + 2\sin\theta + 2\sin(2\theta) = 4\sin\theta + 2\sin(2\theta)$

選択肢より、$l = 4\sin\theta + 2\sin(2\theta)$である。

(2)

$l = 4\sin\theta + 2\sin(2\theta)$より、

$\frac{dl}{d\theta} = 4\cos\theta + 4\cos(2\theta)$

$\frac{dl}{d\theta} = 4\cos\theta + 4(2\cos^2\theta - 1) = 8\cos^2\theta + 4\cos\theta - 4$

$\frac{dl}{d\theta} = 4(2\cos^2\theta + \cos\theta - 1) = 4(2\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1)$

$\frac{dl}{d\theta} = 2(2\cos\theta - 1)(2\cos\theta + 2)$

$\frac{dl}{d\theta} = 2(\cos\theta + 1)(2\cos\theta - 1)$

$\frac{dl}{d\theta} = 0$のとき、$\cos\theta = -1$または$\cos\theta = \frac{1}{2}$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$であるから、$\cos\theta = \frac{1}{2}$より、$\theta = \frac{\pi}{3}$

$\theta = \frac{\pi}{6}$とあるので、これは誤り。正しくは$\theta = \frac{\pi}{3}$。

$\cos\theta = \frac{1}{2}$のとき、$\theta = \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $l = 4\sin\theta + 2\sin(2\theta)$ (選択肢④)

(2) $\frac{dl}{d\theta} = 2(\cos\theta + 1)(2\cos\theta - 1)$

よって、$\theta = \frac{\pi}{3}$のとき$l$は最大となる。