三角形OABにおいて、$OA=2$, $OB=3$, $AB=4$を満たしている。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とするとき、三角形OABの外心をP, 垂心をHとするとき、$\vec{OP}$, $\vec{OH}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、$OA=2$, $OB=3$, $AB=4$を満たしている。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とするとき、三角形OABの外心をP, 垂心をHとするとき、$\vec{OP}$, $\vec{OH}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OP}$を求める。

外心Pは、OA, OB, ABの垂直二等分線の交点である。

$\vec{OP} = s\vec{a} + t\vec{b}$とおくと、

$|\vec{OP} - \frac{1}{2}\vec{OA}|^2 = |\vec{OP} - \frac{1}{2}\vec{OB}|^2 = |\vec{OP}|^2$が成立する。

$|s\vec{a} + t\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}|^2 = |s\vec{a} + t\vec{b}|^2$

$| (s-\frac{1}{2})\vec{a} + t\vec{b} |^2 = |s\vec{a} + t\vec{b}|^2$

$(s-\frac{1}{2})^2 |\vec{a}|^2 + 2(s-\frac{1}{2})t \vec{a} \cdot \vec{b} + t^2|\vec{b}|^2 = s^2|\vec{a}|^2 + 2st\vec{a} \cdot \vec{b} + t^2|\vec{b}|^2$

$(s^2 - s + \frac{1}{4}) |\vec{a}|^2 + 2(st - \frac{1}{2}t)\vec{a} \cdot \vec{b} + t^2|\vec{b}|^2 = s^2|\vec{a}|^2 + 2st\vec{a} \cdot \vec{b} + t^2|\vec{b}|^2$

$(-s + \frac{1}{4})|\vec{a}|^2 - t\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$-s(4) + 1 - t(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$

$|\vec{AB}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

$16 = 4 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 9$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{3}{2}$

$-4s + 1 + \frac{3}{2}t = 0$

$4s - \frac{3}{2}t = 1$

同様に、

$|\vec{OP} - \frac{1}{2}\vec{OB}|^2 = |\vec{OP}|^2$

$|s\vec{a} + t\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{b}|^2 = |s\vec{a} + t\vec{b}|^2$

$|s\vec{a} + (t-\frac{1}{2})\vec{b}|^2 = |s\vec{a} + t\vec{b}|^2$

$s^2|\vec{a}|^2 + 2s(t-\frac{1}{2})\vec{a}\cdot\vec{b} + (t-\frac{1}{2})^2|\vec{b}|^2 = s^2|\vec{a}|^2 + 2st\vec{a}\cdot\vec{b} + t^2|\vec{b}|^2$

$s^2(4) + 2s(t-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2}) + (t^2-t+\frac{1}{4})(9) = s^2(4) + 2st(-\frac{3}{2}) + t^2(9)$

$-3s(t-\frac{1}{2}) + (t^2-t+\frac{1}{4})(9) = -3st + 9t^2$

$-3st + \frac{3}{2}s + 9t^2 - 9t + \frac{9}{4} = -3st + 9t^2$

$\frac{3}{2}s - 9t + \frac{9}{4} = 0$

$\frac{3}{2}s = 9t - \frac{9}{4}$

$s = 6t - \frac{3}{2}$

$4(6t - \frac{3}{2}) - \frac{3}{2}t = 1$

$24t - 6 - \frac{3}{2}t = 1$

$24t - \frac{3}{2}t = 7$

$\frac{45}{2}t = 7$

$t = \frac{14}{45}$

$s = 6(\frac{14}{45}) - \frac{3}{2} = \frac{84}{45} - \frac{3}{2} = \frac{168 - 135}{90} = \frac{33}{90} = \frac{11}{30}$

$\vec{OP} = \frac{11}{30}\vec{a} + \frac{14}{45}\vec{b}$

次に、$\vec{OH}$を求める。

$\vec{OH} = x\vec{a} + y\vec{b}$とおく。

$\vec{OH} \cdot \vec{AB} = 0$

$(x\vec{a} + y\vec{b}) \cdot (\vec{b}-\vec{a}) = 0$

$x\vec{a}\cdot\vec{b} - x|\vec{a}|^2 + y|\vec{b}|^2 - y\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$

$-\frac{3}{2}x - 4x + 9y + \frac{3}{2}y = 0$

$-\frac{11}{2}x + \frac{21}{2}y = 0$

$11x = 21y$

$x = \frac{21}{11}y$

$\vec{AH} \cdot \vec{OB} = 0$

$(\vec{OH} - \vec{OA}) \cdot \vec{OB} = 0$

$(x\vec{a} + y\vec{b} - \vec{a}) \cdot \vec{b} = 0$

$x\vec{a}\cdot\vec{b} + y|\vec{b}|^2 - \vec{a}\cdot\vec{b} = 0$

$-\frac{3}{2}x + 9y + \frac{3}{2} = 0$

$-3x + 18y + 3 = 0$

$-x + 6y + 1 = 0$

$x = 6y + 1$

$\frac{21}{11}y = 6y + 1$

$21y = 66y + 11$

$-45y = 11$

$y = -\frac{11}{45}$

$x = 6(-\frac{11}{45}) + 1 = -\frac{66}{45} + 1 = -\frac{21}{45} = -\frac{7}{15}$

$\vec{OH} = -\frac{7}{15}\vec{a} - \frac{11}{45}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{11}{30}\vec{a} + \frac{14}{45}\vec{b}$

$\vec{OH} = -\frac{7}{15}\vec{a} - \frac{11}{45}\vec{b}$