台形ABCDにおいて、AB//EF//CDであり、AB=6, CD=8のとき、EFの長さを求めよ。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、AB//EF//CDであり、AB=6, CD=8のとき、EFの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABDに注目すると、AB//EFより、

$EF:AB = DF:DB$ が成り立つ。

したがって、$EF = AB \cdot \frac{DF}{DB}$ ... (1)

次に、三角形BCDに注目すると、EF//CDより、

$EF:CD = BF:BD$ が成り立つ。

したがって、$EF = CD \cdot \frac{BF}{BD}$ ... (2)

(1)+(2)より、

$EF + EF = AB \cdot \frac{DF}{DB} + CD \cdot \frac{BF}{BD}$

$2EF = AB \cdot \frac{DF}{DB} + CD \cdot \frac{BF}{BD}$

$2EF = AB \cdot \frac{DF}{DB} + CD \cdot \frac{BD - DF}{BD}$

$2EF = AB \cdot \frac{DF}{DB} + CD - CD \cdot \frac{DF}{DB}$

$2EF = CD + (AB - CD) \cdot \frac{DF}{DB}$

一方、三角形ABCに注目すると、EF//ABより、

$DF:FB = DE:EC = (CD-EF):EC = (CD-EF)/EF$

よって、$DB:FB = DF:FB+1 = (CD-EF)/EF + 1 = (CD)/EF$

ゆえに、$EF = CD*BF/DB$ ... (2)

ここで、$DB = DF + FB$ より、$FB = DB - DF$ であるから、

$EF = CD*(DB-DF)/DB$

$EF = CD - CD*DF/DB$

$DF/DB = (CD-EF)/CD$

$2EF = AB \cdot \frac{DF}{DB} + CD \cdot \frac{BF}{BD}$

$2EF = 6 \cdot \frac{DF}{DB} + 8 \cdot \frac{BF}{BD}$

$\frac{DF}{DB} + \frac{BF}{BD} = \frac{DB}{DB} = 1$

ここで、$\frac{DF}{DB} = x$とすると、$\frac{BF}{BD} = 1-x$であるから、

$2EF = 6x + 8(1-x) = 6x + 8 - 8x = 8 - 2x$

$EF = 4 - x$

また、$\frac{DF}{DB} = \frac{EF}{AB} = \frac{EF}{6}$であるから、

$x = \frac{EF}{6}$である。

$EF = 4 - \frac{EF}{6}$

$6EF = 24 - EF$

$7EF = 24$

$EF = \frac{24}{7}$

または、調和平均の公式を用いると、

$\frac{1}{EF} = \frac{1}{2} (\frac{1}{AB} + \frac{1}{CD})$

$\frac{1}{EF} = \frac{1}{2} (\frac{1}{6} + \frac{1}{8})$

$\frac{1}{EF} = \frac{1}{2} (\frac{4+3}{24}) = \frac{1}{2} (\frac{7}{24}) = \frac{7}{48}$

$EF = \frac{48}{7}$

EF = $\frac{2AB \cdot CD}{AB + CD} = \frac{2 \cdot 6 \cdot 8}{6 + 8} = \frac{96}{14} = \frac{48}{7}$

3. 最終的な答え

$\frac{48}{7}$