長方形ABCDにおいて、AB=4a, BC=3a (a>0)である。点P, Qは頂点Aを同時に出発し、長方形の周上を動く。Pは毎秒$\frac{1}{3}a$の速さでA→B→Cの順に進み、点Cで止まる。Qは毎秒$\frac{2}{3}a$の速さでA→D→C→B→Aの順に一周し、点Aで止まる。 (2) 出発してからx秒後に点Pが辺AB上(両端を含む)にあり、点Qが辺BC上(両端を含む)にあるとき、三角形BPQの面積が$\frac{4}{9}a^2$となるようなxの値を求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、AB=4a, BC=3a (a>0)である。点P, Qは頂点Aを同時に出発し、長方形の周上を動く。Pは毎秒$\frac{1}{3}a$の速さでA→B→Cの順に進み、点Cで止まる。Qは毎秒$\frac{2}{3}a$の速さでA→D→C→B→Aの順に一周し、点Aで止まる。

(2) 出発してからx秒後に点Pが辺AB上(両端を含む)にあり、点Qが辺BC上(両端を含む)にあるとき、三角形BPQの面積が$\frac{4}{9}a^2$となるようなxの値を求める。

2. 解き方の手順

まず、点Pが辺AB上にある条件を考える。PはAからBまで進むので、$0 \le \frac{1}{3}ax \le 4a$より、$0 \le x \le 12$である。

次に、点Qが辺BC上にある条件を考える。QはA→D→C→Bの順に進むので、

$AD + DC \le \frac{2}{3}ax \le AD + DC + CB$

$3a + 4a \le \frac{2}{3}ax \le 3a + 4a + 3a$

$7a \le \frac{2}{3}ax \le 10a$

$\frac{21}{2} \le x \le 15$

したがって、$10.5 \le x \le 15$である。

点PがAB上、点QがBC上に存在するのは、$10.5 \le x \le 12$ の範囲である。

次に、BPとBQの長さをxで表す。

$BP = AB - AP = 4a - \frac{1}{3}ax$

$BQ = BC - CQ$

QはAD + DC = 7a 進んでいるので、$CQ = \frac{2}{3}ax - 7a$

したがって、$BQ = 3a - (\frac{2}{3}ax - 7a) = 10a - \frac{2}{3}ax$

三角形BPQの面積は$\frac{1}{2} \times BP \times BQ$であるから、

$\frac{1}{2} \times (4a - \frac{1}{3}ax) \times (10a - \frac{2}{3}ax) = \frac{4}{9}a^2$

$(4a - \frac{1}{3}ax) \times (10a - \frac{2}{3}ax) = \frac{8}{9}a^2$

$40a^2 - \frac{8}{3}a^2x - \frac{10}{3}a^2x + \frac{2}{9}a^2x^2 = \frac{8}{9}a^2$

$40 - \frac{18}{3}x + \frac{2}{9}x^2 = \frac{8}{9}$

$360 - 54x + 2x^2 = 8$

$2x^2 - 54x + 352 = 0$

$x^2 - 27x + 176 = 0$

$(x - 11)(x - 16) = 0$

$x = 11, 16$

$10.5 \le x \le 12$の範囲で考えるので、$x=11$が解である。

3. 最終的な答え

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