長方形ABCDにおいて、$AB = 4a$, $BC = 3a$ ($a > 0$) である。点PはAを毎秒$\frac{1}{3}a$の速さで$A \to B \to C$と進み、点Cで止まる。点QはAを毎秒$\frac{2}{3}a$の速さで$A \to D \to C \to B \to A$と一周し、点Aで止まる。出発してから$x$秒後に点P, Qがともに辺BC上（両端を含む）にあるような$x$の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、$AB = 4a$, $BC = 3a$ ($a > 0$) である。点PはAを毎秒$\frac{1}{3}a$の速さで$A \to B \to C$と進み、点Cで止まる。点QはAを毎秒$\frac{2}{3}a$の速さで$A \to D \to C \to B \to A$と一周し、点Aで止まる。出発してから$x$秒後に点P, Qがともに辺BC上（両端を含む）にあるような$x$の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

点Pが辺BC上にあるのは、$A \to B$までにかかる時間 $4a / (\frac{1}{3}a) = 12$ 秒後から、$A \to B \to C$までにかかる時間 $(4a + 3a) / (\frac{1}{3}a) = 21$ 秒後の間である。よって、$12 \leq x \leq 21$。

点Qが辺BC上にあるのは、

$A \to D \to C$までにかかる時間 $(4a + 3a) / (\frac{2}{3}a) = \frac{21}{2}$ 秒後から、

$A \to D \to C \to B$までにかかる時間 $(4a + 3a + 4a) / (\frac{2}{3}a) = \frac{33}{2}$ 秒後の間である。よって、$\frac{21}{2} \leq x \leq \frac{33}{2}$。

PとQがともにBC上にあるのは、

$12 \leq x \leq 21$ かつ $\frac{21}{2} \leq x \leq \frac{33}{2}$ を満たすとき。

$12 = \frac{24}{2}$なので、$\frac{21}{2} \leq x \leq \frac{33}{2}$と$12 \leq x \leq 21$を満たす範囲は、$\frac{24}{2} \leq x \leq \frac{42}{2}$と比較して、

$12 \leq x \leq 21$より大きい$\frac{21}{2}=10.5$と$x=21$と比較して、$\frac{21}{2}$の方が大きいため、条件を満たす範囲は、

$12 = \frac{24}{2} = 12.0 \le x \le 21$

かつ

$10.5 \le x \le 16.5$

なので、$12 \le x \le 16.5$

3. 最終的な答え

$12 \leq x \leq \frac{33}{2}$