直方体 ABCDEFGH において、 (1) 平面 AFH と平面 EFH がなす角を $\theta$ とするとき、$\cos \theta$ を求める。 (2) 頂点 E から平面 AFH に下ろした垂線の長さ $h$ を求める。 直方体の辺の長さは、AB=CD=EF=GH=1, AD=BC=FG=EH=1, AE=BF=CG=DH=aとする。

1. 問題の内容

直方体 ABCDEFGH において、

(1) 平面 AFH と平面 EFH がなす角を $\theta$ とするとき、$\cos \theta$ を求める。

(2) 頂点 E から平面 AFH に下ろした垂線の長さ $h$ を求める。

直方体の辺の長さは、AB=CD=EF=GH=1, AD=BC=FG=EH=1, AE=BF=CG=DH=aとする。

2. 解き方の手順

(1) 平面 AFH と平面 EFH がなす角 $\theta$ を求める。

平面 AFH と平面 EFH の交線は FH である。

EからFHに下ろした垂線は、EF。

AからFHに下ろした垂線を考える。

FHの中点をMとする。直方体なので、FM = MH.

AF=AHなので、AMはFHに垂直である。

$\angle AME = \theta$ となる。

$EF=1, AF=\sqrt{AE^2+EF^2}=\sqrt{a^2+1}$.

$FH=\sqrt{EF^2+EH^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$.

$FM=MH=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$AM=\sqrt{AF^2-FM^2}=\sqrt{a^2+1-\frac{1}{2}}=\sqrt{a^2+\frac{1}{2}}$.

$\cos \theta = \frac{ME}{AM} = \frac{EF}{\sqrt{a^2+\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{a^2+\frac{1}{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2+1}}$.

よって、$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2+1}}$.

(2) 頂点 E から平面 AFH に下ろした垂線の長さ $h$ を求める。

四面体 EAFH の体積を2通りの方法で表す。

四面体 EAFH の体積は、$\frac{1}{3} \times (\text{三角形 EFH の面積}) \times AE = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2} \times EF \times EH) \times AE = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2} \times 1 \times 1) \times a = \frac{a}{6}$.

次に、底面を三角形 AFH とすると、高さは $h$ となる。

三角形 AFH の面積を S とすると、S = $\sqrt{s(s-AF)(s-FH)(s-AH)}$ (ヘロンの公式)

ただし、$s = \frac{AF+FH+AH}{2} = \frac{\sqrt{a^2+1} + \sqrt{2} + \sqrt{a^2+1}}{2} = \sqrt{a^2+1} + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$AF = AH = \sqrt{a^2+1}$, $FH = \sqrt{2}$.

$\text{三角形 AFH の面積} = \frac{1}{2} \times FH \times \sqrt{AF^2 - (\frac{FH}{2})^2} = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{a^2+1 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{a^2+\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2a^2+1}}{2}$.

四面体 EAFH の体積 = $\frac{1}{3} \times S \times h = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{2a^2+1}}{2} \times h = \frac{h \sqrt{2a^2+1}}{6}$.

$\frac{h \sqrt{2a^2+1}}{6} = \frac{a}{6}$

$h \sqrt{2a^2+1} = a$

$h = \frac{a}{\sqrt{2a^2+1}}$.

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2+1}}$

(2) $h = \frac{a}{\sqrt{2a^2+1}}$