三角形$ABC$の各辺をそれぞれ一辺とする正方形$PQBA$, $RSCB$, $TUAC$が三角形の外側に作られている。$AB=3$, $BC=4$, $CA=3$のとき、六角形$PQRSTU$の面積を求めよ。

1. 問題の内容

三角形$ABC$の各辺をそれぞれ一辺とする正方形$PQBA$, $RSCB$, $TUAC$が三角形の外側に作られている。$AB=3$, $BC=4$, $CA=3$のとき、六角形$PQRSTU$の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

六角形$PQRSTU$の面積は、三角形$ABC$の面積と3つの正方形の面積の和に、三角形$APQ$, $BRS$, $CTU$の面積を加えたものに等しい。

まず、三角形$ABC$の面積を求める。三角形$ABC$は二等辺三角形である。底辺$BC$の中点を$M$とすると、$AM$は$BC$に垂直で、$BM = MC = 2$である。$AM = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{5}$である。

よって、三角形$ABC$の面積は、

$\frac{1}{2} \times BC \times AM = \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.

次に、3つの正方形の面積を求める。

正方形$PQBA$の面積は $3^2 = 9$.

正方形$RSCB$の面積は $4^2 = 16$.

正方形$TUAC$の面積は $3^2 = 9$.

次に、三角形$APQ$, $BRS$, $CTU$の面積を求める。

三角形$APQ$は$AP = AQ = 3$で、$\angle PAQ = 90^\circ + \angle BAC$である。しかし、$\angle BAC$が不明なので、直接面積を計算できない。

代わりに、六角形$PQRSTU$の面積は、三角形$ABC$の面積と3つの正方形の面積の和に、3つの直角二等辺三角形の面積を加えたものに等しい。三角形$APQ$, $BRS$, $CTU$はそれぞれ直角二等辺三角形である。

三角形$APQ$の面積は $\frac{1}{2} \times AP \times AQ = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2}$.

三角形$BRS$の面積は $\frac{1}{2} \times BR \times BS = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = \frac{16}{2} = 8$.

三角形$CTU$の面積は $\frac{1}{2} \times CT \times CU = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2}$.

したがって、六角形$PQRSTU$の面積は、

$2\sqrt{5} + 9 + 16 + 9 + \frac{9}{2} + 8 + \frac{9}{2} = 42 + 2\sqrt{5} + 9 = 50+2\sqrt{5}$

六角形$PQRSTU$の面積は、三角形$ABC$ + 正方形$PQBA$ + 正方形$RSCB$ + 正方形$TUAC$ + 三角形$APQ$ + 三角形$BRS$ + 三角形$CTU$ で求められる。

三角形$APQ$の面積は $\frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2}$

三角形$BRS$の面積は $\frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$

三角形$CTU$の面積は $\frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2}$

三角形$ABC$の面積は $2\sqrt{5}$

六角形$PQRSTU$の面積は

$9+16+9 + 2\sqrt{5} + \frac{9}{2} + 8 + \frac{9}{2} = 42 + 9 + 2\sqrt{5} = 50 + 2\sqrt{5}$

三角形ABCの面積をヘロンの公式を使って計算する。$s = (3+4+3)/2 = 5$.

面積 = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{5(5-3)(5-4)(5-3)} = \sqrt{5(2)(1)(2)} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

六角形の面積は、

$9+16+9 + 2\sqrt{5} + \frac{9}{2} + 8 + \frac{9}{2} = 42 + 2\sqrt{5} + 17/2 \times 2 = 50+2\sqrt{5}$.

3. 最終的な答え

$50 + 2\sqrt{5}$