(3) 図において点Oは三角形ABCの外心である。角xの大きさを求める。 (4) 図において点Mは辺BCの中点、Gは三角形ABCの重心である。AM = 8のとき、線分MGの長さを求める。

1. 問題の内容

(3) 図において点Oは三角形ABCの外心である。角xの大きさを求める。

(4) 図において点Mは辺BCの中点、Gは三角形ABCの重心である。AM = 8のとき、線分MGの長さを求める。

2. 解き方の手順

(3)

外心は三角形の各頂点からの距離が等しい点である。したがって、OA = OB なので、三角形OABは二等辺三角形である。 よって、$\angle OBA = \angle OAB = 24^\circ$ となる。

同様に、OA = OCなので、三角形OACも二等辺三角形である。したがって、$\angle OCA = \angle OAC = x$ となる。

三角形ABCの内角の和は180度なので、$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$ となる。

$\angle BAC = 24^\circ + x$

$\angle ABC = 24^\circ + 31^\circ = 55^\circ$

$\angle BCA = 31^\circ + x$

したがって、

$(24^\circ + x) + 55^\circ + (31^\circ + x) = 180^\circ$

$110^\circ + 2x = 180^\circ$

$2x = 70^\circ$

$x = 35^\circ$

(4)

重心は中線を2:1に内分する点である。したがって、$AG:GM = 2:1$となる。

AM = 8であるから、$AG + GM = 8$。

$AG = 2GM$であるから、$2GM + GM = 8$。

$3GM = 8$

$GM = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

(3) $x = 35^\circ$

(4) $MG = \frac{8}{3}$