3点 A(-2, 1), B(4, 10), C(a, $\frac{3}{2}a + 1$) が与えられている。 (1) 2点 A, B を通る直線の式を求める。 (2) 3点 A, B, C が一直線上にあるような a の値を求める。

1. 問題の内容

3点 A(-2, 1), B(4, 10), C(a, $\frac{3}{2}a + 1$) が与えられている。

(1) 2点 A, B を通る直線の式を求める。

(2) 3点 A, B, C が一直線上にあるような a の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2点 A(-2, 1), B(4, 10) を通る直線の式を求める。

直線の傾き m は、

$m = \frac{10 - 1}{4 - (-2)} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

点 A を通る直線の式は、

$y - 1 = \frac{3}{2} (x - (-2))$

$y - 1 = \frac{3}{2} (x + 2)$

$y - 1 = \frac{3}{2}x + 3$

$y = \frac{3}{2}x + 4$

(2) 3点 A, B, C が一直線上にあるとき、点 C は直線 AB 上にある。

したがって、点 C の座標 (a, $\frac{3}{2}a + 1$) は、直線 $y = \frac{3}{2}x + 4$ 上にある。

$y = \frac{3}{2}x + 4$ に点 C の座標を代入すると、

$\frac{3}{2}a + 1 = \frac{3}{2}a + 4$

これは条件 $\frac{3}{2}a + 1 = \frac{3}{2}a + 4$ が成立する必要があることを意味する．

$\frac{3}{2}a + 1 = \frac{3}{2} a + 4$が成り立つためには、3点A, B, Cが同一直線上にあることから、$C$は$y = \frac{3}{2}x + 4$を満たす必要がある。

$\frac{3}{2}a + 1 = \frac{3}{2}a + 4$

$1=4$

これは矛盾している。

したがって、C の y 座標が $\frac{3}{2}a + 1$ であるという条件を満たさない。問題文に誤りがある。

点Cのy座標が$(\frac{3}{2}a+1)$であるとき，点A,B,Cが同一直線上にあるための条件を考えると，

$y=\frac{3}{2}x+4$に$x=a$, $y=\frac{3}{2}a+1$を代入して，

$\frac{3}{2}a+1 = \frac{3}{2}a+4$

$1 = 4$

となり矛盾が生じる．

しかし、もし点Cのy座標が$\frac{3}{2}a+1$ではなく，例えば，$C(a, \frac{9}{6}(a+2)+1)$だとすると，

$C(a, \frac{3}{2}(a+2)+1) = C(a, \frac{3}{2}a+3+1) = C(a, \frac{3}{2}a+4)$となり，

点Cは直線$y=\frac{3}{2}x+4$上に存在する．

あるいは、問題文においてCのy座標を求めるべきであったと考えると、

点A,Bを通る直線は$y=\frac{3}{2}x+4$なので、$x=a$のときのy座標は$y=\frac{3}{2}a+4$である．

したがって、点Cのy座標は$\frac{3}{2}a+4$となる．

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{3}{2}x + 4$

(2) 問題文に誤りがあるため、a の値を求めることができない。もし点Cのy座標を求めるのであれば$\frac{3}{2}a+4$が答えとなる。