三角形ABCにおいて、重心をGとし、ベクトルBA = a、ベクトルBC = cとします。 (1) ベクトルBGをa, cを用いて表しなさい。 (2) BP:PA = 2:3となる点Pを辺AB上にとり、直線PGと直線BCが交わる点をQとするとき、ベクトルBQをcを用いて表しなさい。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、重心をGとし、ベクトルBA = a、ベクトルBC = cとします。

(1) ベクトルBGをa, cを用いて表しなさい。

(2) BP:PA = 2:3となる点Pを辺AB上にとり、直線PGと直線BCが交わる点をQとするとき、ベクトルBQをcを用いて表しなさい。

2. 解き方の手順

(1) ベクトルBGをa, cを用いて表す。

重心Gは、三角形ABCの頂点から対辺の中点に向かう線分の交点です。

ベクトルBGは、ベクトルBAとベクトルBCを用いて表すことができます。

まず、ベクトルBA = a、ベクトルBC = cより、ベクトルAC = ベクトルBC - ベクトルBA = c - aです。

次に、ベクトルBG = (ベクトルBA + ベクトルBC)/3 + ベクトルBA + ベクトルBC)/3 = (ベクトルBA + ベクトルBC)/3 = (a+c)2/3　

ベクトルAG = $\frac{1}{3}$(ベクトルAB + ベクトルAC) = $\frac{1}{3}$(-a + c - a) = $\frac{1}{3}$(-2a + c).

ベクトルBG = ベクトルBA + ベクトルAG = a + $\frac{1}{3}$(-2a + c) = a - $\frac{2}{3}$a + $\frac{1}{3}$c = $\frac{1}{3}$a + $\frac{1}{3}$c.

(2) ベクトルBQをcを用いて表す。

点Pは辺AB上にあり、BP:PA = 2:3なので、ベクトルBP = $\frac{2}{5}$ベクトルBA = $\frac{2}{5}$aです。

点Qは直線BC上にあり、点P, G, Qは同一直線上にあります。

ベクトルBQ = kベクトルBC = kcと表せます（kは実数）。

ベクトルPQ = ベクトルBQ - ベクトルBP = kc - $\frac{2}{5}$a.

また、ベクトルPG = ベクトルBG - ベクトルBP = ($\frac{1}{3}$a + $\frac{1}{3}$c) - $\frac{2}{5}$a = -$\frac{1}{15}$a + $\frac{1}{3}$c.

点P, G, Qが同一直線上にあるので、ベクトルPQ = tベクトルPGと表せます（tは実数）。

よって、kc - $\frac{2}{5}$a = t(-$\frac{1}{15}$a + $\frac{1}{3}$c).

kc - $\frac{2}{5}$a = -$\frac{t}{15}$a + $\frac{t}{3}$c.

aとcは一次独立なので、それぞれの係数を比較すると、

-$\frac{2}{5}$ = -$\frac{t}{15}$ より、t =

6. k = $\frac{t}{3}$ = $\frac{6}{3}$ =

2. したがって、ベクトルBQ = 2c.

3. 最終的な答え

(1) ベクトルBG = $\frac{1}{3}$a + $\frac{1}{3}$c

(2) ベクトルBQ = 2c