xy平面上に点P(-1, 9)と円Cの方程式 $x^2 + y^2 - 8x + 6y + 16 = 0$ が与えられています。 (1) 2点P, A間の距離dを求めます。ここで、Aは円Cの中心です。 (2) 点Pを中心とし、円Cと接する円のうち、半径が(1)で求めた距離dよりも大きい円の方程式を求めます。

1. 問題の内容

xy平面上に点P(-1, 9)と円Cの方程式 $x^2 + y^2 - 8x + 6y + 16 = 0$ が与えられています。

(1) 2点P, A間の距離dを求めます。ここで、Aは円Cの中心です。

(2) 点Pを中心とし、円Cと接する円のうち、半径が(1)で求めた距離dよりも大きい円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、円Cの方程式を標準形に変形します。

$x^2 - 8x + y^2 + 6y + 16 = 0$

$(x^2 - 8x) + (y^2 + 6y) + 16 = 0$

$(x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 6y + 9) + 16 - 16 - 9 = 0$

$(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 9$

よって、円Cの中心Aは(4, -3)であり、半径は3です。

点P(-1, 9)と点A(4, -3)の距離dを求めます。

$d = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (-3 - 9)^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$

(2)

点P(-1, 9)を中心とする円の方程式は、

$(x + 1)^2 + (y - 9)^2 = r^2$ で表されます。

この円が円Cと接するので、2円の中心間の距離は、2円の半径の和または差に等しくなります。

点Pと点Aの距離は $d = 13$ です。

円Cの半径は3です。

点Pを中心とする円の半径をrとすると、

$|r \pm 3| = 13$

$r + 3 = 13$ または $r + 3 = -13$ または $r - 3 = 13$ または $r - 3 = -13$

$r = 10$ または $r = -16$ または $r = 16$ または $r = -10$

半径は正なので、$r = 10$ または $r = 16$ となります。

問題文より、半径が $d=13$ よりも大きい円を求めるので、$r = 16$ となります。

したがって、求める円の方程式は、

$(x + 1)^2 + (y - 9)^2 = 16^2$

$(x + 1)^2 + (y - 9)^2 = 256$

3. 最終的な答え

(1) $d = 13$

(2) $(x + 1)^2 + (y - 9)^2 = 256$