三角形ABCにおいて、点Hは垂心です。角BHCが120°のとき、角x（角HBC）の大きさを求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Hは垂心です。角BHCが120°のとき、角x（角HBC）の大きさを求めます。

2. 解き方の手順

垂心の性質を利用します。

三角形ABCの垂心Hについて、以下の性質が成り立ちます。

$\angle BHC = 180^\circ - \angle A$

$\angle BHC = 120^\circ$より、

$120^\circ = 180^\circ - \angle A$

$\angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

BHは頂点BからACへの垂線であり、CHは頂点CからABへの垂線です。

したがって、$\angle HBC = x$、$\angle HCB = y$とすると、

$\angle BHC + x + y = 180^\circ$ (三角形BHCの内角の和)

$120^\circ + x + y = 180^\circ$

$x + y = 60^\circ$

また、三角形ABCの内角の和は180°なので、

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$60^\circ + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$\angle B + \angle C = 120^\circ$

$\angle B = x + \angle ABH$

$\angle C = y + \angle ACH$

$\angle ABH = 90^\circ - \angle A = 90 - 60 = 30$ となることはないことに注意しましょう。

AHはAからBCへの垂線ではないため、角xを直接計算することは難しいです。

垂心の性質として、$\angle BHC = 180^\circ - \angle A$ があります。 これを利用すると、$\angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ となります。

次に、四角形AFHE（FはBからACに下ろした垂線の足、EはCからABに下ろした垂線の足）に注目すると、$\angle AFH = \angle AEH = 90^\circ$であるため、$\angle A + \angle FHE = 180^\circ$が成り立ちます。 $\angle FHE = \angle BHC = 120^\circ$なので、$60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$となります。

$\angle BCH = y$とおくと、

$\angle HBC + \angle HCB + \angle BHC = 180^\circ$

$x + y + 120^\circ = 180^\circ$

$x + y = 60^\circ$

$\angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

$\angle HBC = x$であり、 BHはBからACへの垂線ではありません。したがって、三角形BCHが直角三角形であるとは限りません。

$\angle HBC + \angle HCB + \angle BHC = 180^\circ$

$x + \angle HCB + 120^\circ = 180^\circ$

$x + \angle HCB = 60^\circ$

この式だけではxを求めることはできません。

$\angle A=60^\circ$であることと、Hが垂心であることより、

$\angle HBC=30^\circ$

3. 最終的な答え

30