円Xは四角形PQRSに内接しており、四角形PQRSの辺を延長した直線と円A,B,C,Dが接している。円A,B,C,Xの半径がそれぞれ2,1,4,3であるとき、円Dの半径を求める。

1. 問題の内容

円Xは四角形PQRSに内接しており、四角形PQRSの辺を延長した直線と円A,B,C,Dが接している。円A,B,C,Xの半径がそれぞれ2,1,4,3であるとき、円Dの半径を求める。

2. 解き方の手順

この問題は、Descartesの円の定理を利用して解くことができます。Descartesの円の定理とは、互いに接する4つの円の半径をそれぞれ$r_1, r_2, r_3, r_4$とすると、以下の関係が成り立つというものです。

$(\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} + \frac{1}{r_4})^2 = 2(\frac{1}{r_1^2} + \frac{1}{r_2^2} + \frac{1}{r_3^2} + \frac{1}{r_4^2})$

この定理において、外側の直線は半径が無限大の円として考えることができ、$\frac{1}{r} = 0$として扱います。

問題の図において、円A, B, C, X, D はそれぞれ四角形PQRSの辺の延長線に接しているため、Descartesの円の定理を変形した以下の式を利用できます。

$\epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3 + \epsilon_4 = 0$

ここで $\epsilon_i = \pm \frac{1}{r_i}$ であり、符号は円が他の円を内包する場合はマイナス、外側にある場合はプラスとなります。

本問の場合、円A, B, C, D は直線に接しているため、直線に対応する曲率（半径の逆数）は0と考えることができます。

また、円Xは四角形に内接しており、円A, B, C, D は四角形の外側にあると考えられるので、円A, B, C, Dに対応する曲率はプラス、円Xに対応する曲率はマイナスになります。

したがって、円A, B, C, Dの半径を$r_A, r_B, r_C, r_D$、円Xの半径を$r_X$とすると、以下のように記述できます。

$\frac{1}{r_A} + \frac{1}{r_B} + \frac{1}{r_C} - \frac{1}{r_X} - \frac{1}{r_D} = 0$

与えられた値 $r_A = 2, r_B = 1, r_C = 4, r_X = 3$ を代入すると、

$\frac{1}{2} + \frac{1}{1} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = \frac{1}{r_D}$

$\frac{6+12+3-4}{12} = \frac{1}{r_D}$

$\frac{17}{12} = \frac{1}{r_D}$

$r_D = \frac{12}{17}$

3. 最終的な答え

円Dの半径は $\frac{12}{17}$ です。