ベクトル $\vec{a} = (2, -1, 3)$ と $\vec{b} = (1, 5, -4)$ の両方に垂直な単位ベクトルを求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, -1, 3)$ と $\vec{b} = (1, 5, -4)$ の両方に垂直な単位ベクトルを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を計算します。外積は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトルになります。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1) \cdot (-4) - 3 \cdot 5 \\ 3 \cdot 1 - 2 \cdot (-4) \\ 2 \cdot 5 - (-1) \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 15 \\ 3 + 8 \\ 10 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 \\ 11 \\ 11 \end{pmatrix}$

(2) 外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ の大きさを計算します。

$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-11)^2 + 11^2 + 11^2} = \sqrt{121 + 121 + 121} = \sqrt{3 \cdot 121} = 11\sqrt{3}$

(3) 外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ をその大きさで割ることで、単位ベクトルを求めます。

$\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{1}{11\sqrt{3}} \begin{pmatrix} -11 \\ 11 \\ 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sqrt{3}/3 \\ \sqrt{3}/3 \\ \sqrt{3}/3 \end{pmatrix}$

(4) もう一つの単位ベクトルは、上記で求めた単位ベクトルの符号を反転させたものです。

$-\begin{pmatrix} -\sqrt{3}/3 \\ \sqrt{3}/3 \\ \sqrt{3}/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{3}/3 \\ -\sqrt{3}/3 \\ -\sqrt{3}/3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

求める単位ベクトルは、 $\begin{pmatrix} -\sqrt{3}/3 \\ \sqrt{3}/3 \\ \sqrt{3}/3 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} \sqrt{3}/3 \\ -\sqrt{3}/3 \\ -\sqrt{3}/3 \end{pmatrix}$ です。