直線 $l: y = 2x + 3$ 上に $y$ 座標が正である点 $P$ をとります。$P$ を通り $y$ 軸に平行な直線と $x$ 軸との交点を $Q$ とします。$PQ$ を 1 辺とする正方形 $PQRS$ を作ります。点 $R$ の $x$ 座標が 15 のとき、点 $P$ の $x$ 座標を求めなさい。

1. 問題の内容

直線 $l: y = 2x + 3$ 上に $y$ 座標が正である点 $P$ をとります。$P$ を通り $y$ 軸に平行な直線と $x$ 軸との交点を $Q$ とします。$PQ$ を 1 辺とする正方形 $PQRS$ を作ります。点 $R$ の $x$ 座標が 15 のとき、点 $P$ の $x$ 座標を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、点 $P$ の座標を $t$ を用いて表します。点 $P$ は直線 $l: y = 2x + 3$ 上にあるので、$P(t, 2t+3)$ となります。

次に、点 $Q$ の座標を求めます。点 $Q$ は、$P$ を通り $y$ 軸に平行な直線と $x$ 軸との交点なので、$Q(t, 0)$ となります。

正方形 $PQRS$ の一辺の長さ $PQ$ は、点 $P$ の $y$ 座標に等しいので、$PQ = 2t + 3$ です。

点 $R$ の座標は、$Q$ から $x$ 軸方向に $PQ$ だけ進んだ点なので、$R(t + PQ, 0)$ となります。

問題文より、点 $R$ の $x$ 座標は 15 なので、$t + PQ = 15$ です。

$PQ = 2t + 3$ を代入すると、$t + (2t + 3) = 15$ となります。

これを解くと、$3t + 3 = 15$、$3t = 12$、$t = 4$ となります。

したがって、点 $P$ の座標は $(4, 2 \times 4 + 3) = (4, 11)$ となります。

求めるのは点 $P$ の $x$ 座標なので、$4$ が答えとなります。

3. 最終的な答え

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