図のように、線分ABを直径とする半円があり、円周上にAC = 5, BC = 12となるように点Cをとります。また、∠Aの二等分線と線分BC、弧BCとの交点をそれぞれD, Eとします。 (i) ABの長さを求めます。 (ii) CDの長さを求めます。 (iii) DEの長さを求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

図のように、線分ABを直径とする半円があり、円周上にAC = 5, BC = 12となるように点Cをとります。また、∠Aの二等分線と線分BC、弧BCとの交点をそれぞれD, Eとします。

(i) ABの長さを求めます。

(ii) CDの長さを求めます。

(iii) DEの長さを求めます。

2. 解き方の手順

(i) ABの長さを求める。

三角形ABCは、ABが直径であることから、∠ACB = 90°の直角三角形です。したがって、三平方の定理より

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$AB^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

$AB = \sqrt{169} = 13$

(ii) CDの長さを求める。

ADは∠Aの二等分線であるから、角の二等分線の定理より、BD:DC = AB:ACです。

BD:DC = 13:5となります。

BC = 12なので、CD = BC * (DC / (BD+DC)) = 12 * (5 / (13+5)) = 12 * (5/18) = 12 * 5 / 18 = 2 * 5 / 3 = 10/3

(iii) DEの長さを求める。

弧BEと弧CEに対する円周角は等しいので、∠BAE = ∠CAE = ∠CBEです。

したがって、△ABEにおいて、∠BAE = ∠AEBとなるので、△ABEは二等辺三角形です。

したがって、BE = AB = 13 です。

BE = BD + DE であり、BD = BC - CD = 12 - 10/3 = (36 - 10)/3 = 26/3 なので、DE = BE - BD = 13 - 26/3 = (39 - 26) / 3 = 13 / 3 となります。

3. 最終的な答え

(i) AB = 13

(ii) CD = 10/3

(iii) DE = 13/3