(3) 線分ABを直径とする円Oの円周上の点Cにおける接線と直線ABとの交点をDとする。AB=2, $\angle ADC = 30^\circ$のとき、CDの長さを求めよ。ただし、円Oの点Cにおける接線は直線ABと平行ではないものとする。 (4) $ab + a + b = 9$ を満たす整数a, bの組(a, b)の個数を求めよ。

幾何学接線三角比代数学整数
2025/7/27

1. 問題の内容

(3) 線分ABを直径とする円Oの円周上の点Cにおける接線と直線ABとの交点をDとする。AB=2, ADC=30\angle ADC = 30^\circのとき、CDの長さを求めよ。ただし、円Oの点Cにおける接線は直線ABと平行ではないものとする。
(4) ab+a+b=9ab + a + b = 9 を満たす整数a, bの組(a, b)の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

(3)
円Oの中心をEとする。ACを引く。
OCA=90\angle OCA = 90^\circ (接線は半径に垂直)
CAB=OCAADC=9030=60\angle CAB = \angle OCA - \angle ADC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ
AC=ABcos60=212=1AC = AB \cos 60^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1
BC=ABsin60=232=3BC = AB \sin 60^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}
ADC\triangle ADCにおいて、正弦定理より、
ACsinADC=CDsinDAC\frac{AC}{\sin \angle ADC} = \frac{CD}{\sin \angle DAC}
DAC=9030=60\angle DAC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ
1sin30=CDsin60\frac{1}{\sin 30^\circ} = \frac{CD}{\sin 60^\circ}
11/2=CD3/2\frac{1}{1/2} = \frac{CD}{\sqrt{3}/2}
2=2CD32 = \frac{2CD}{\sqrt{3}}
CD=3CD = \sqrt{3}
(4)
ab+a+b=9ab + a + b = 9
ab+a+b+1=10ab + a + b + 1 = 10
(a+1)(b+1)=10(a + 1)(b + 1) = 10
a, bは整数なので、a+1とb+1も整数である。
10の約数は、±1,±2,±5,±10\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10
a+1とb+1の組み合わせは、
(1, 10), (10, 1), (2, 5), (5, 2), (-1, -10), (-10, -1), (-2, -5), (-5, -2)
したがって、(a, b)の組み合わせは、
(0, 9), (9, 0), (1, 4), (4, 1), (-2, -11), (-11, -2), (-3, -6), (-6, -3)
全部で8組ある。

3. 最終的な答え

(3) 3\sqrt{3}
(4) 8

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