(3) 線分ABを直径とする円Oの円周上の点Cにおける接線と直線ABとの交点をDとする。AB=2, $\angle ADC = 30^\circ$のとき、CDの長さを求めよ。ただし、円Oの点Cにおける接線は直線ABと平行ではないものとする。 (4) $ab + a + b = 9$ を満たす整数a, bの組(a, b)の個数を求めよ。
2025/7/27
1. 問題の内容
(3) 線分ABを直径とする円Oの円周上の点Cにおける接線と直線ABとの交点をDとする。AB=2, のとき、CDの長さを求めよ。ただし、円Oの点Cにおける接線は直線ABと平行ではないものとする。
(4) を満たす整数a, bの組(a, b)の個数を求めよ。
2. 解き方の手順
(3)
円Oの中心をEとする。ACを引く。
(接線は半径に垂直)
において、正弦定理より、
(4)
a, bは整数なので、a+1とb+1も整数である。
10の約数は、
a+1とb+1の組み合わせは、
(1, 10), (10, 1), (2, 5), (5, 2), (-1, -10), (-10, -1), (-2, -5), (-5, -2)
したがって、(a, b)の組み合わせは、
(0, 9), (9, 0), (1, 4), (4, 1), (-2, -11), (-11, -2), (-3, -6), (-6, -3)
全部で8組ある。
3. 最終的な答え
(3)
(4) 8