平行四辺形OABCがあり、点Aの座標が$(-2, 4)$、点Bの座標が$(6, 10)$である。このとき、点Cの座標を求め、平行四辺形OABCの面積を2等分する直線の傾きを求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形OABCがあり、点Aの座標が$(-2, 4)$、点Bの座標が$(6, 10)$である。このとき、点Cの座標を求め、平行四辺形OABCの面積を2等分する直線の傾きを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、平行四辺形OABCの性質を利用して点Cの座標を求めます。

平行四辺形では、対角線の中点が一致します。

対角線OBの中点Mの座標は、

$M = \left(\frac{0+6}{2}, \frac{0+10}{2}\right) = (3, 5)$

対角線ACの中点もMと一致するので、点Cの座標を$(x, y)$とすると、

$\left(\frac{-2+x}{2}, \frac{4+y}{2}\right) = (3, 5)$

これから、

$\frac{-2+x}{2} = 3$

$-2+x = 6$

$x = 8$

$\frac{4+y}{2} = 5$

$4+y = 10$

$y = 6$

したがって、点Cの座標は$(8, 6)$です。

次に、平行四辺形OABCの面積を2等分する直線について考えます。

平行四辺形の面積を2等分する直線は、平行四辺形の対角線の交点(中点)を通ります。

対角線OBの中点Mは$(3, 5)$です。

したがって、原点Oを通り、点Mを通る直線の傾きを求めればよいことになります。

傾き$m$は、

$m = \frac{5-0}{3-0} = \frac{5}{3}$

3. 最終的な答え

点Cの座標は $(8, 6)$です。

平行四辺形OABCの面積を2等分する直線の傾きは $\frac{5}{3}$です。