底面の半径が3cm、高さが15cmの円柱形の容器に水が満たされている。容器を45度傾けたとき、容器に残っている水の体積を求める。

1. 問題の内容

底面の半径が3cm、高さが15cmの円柱形の容器に水が満たされている。容器を45度傾けたとき、容器に残っている水の体積を求める。

2. 解き方の手順

まず、円柱の体積を求める。

$V_{円柱} = \pi r^2 h$

ここで、$r$は半径、$h$は高さ。

与えられた値から、$r = 3$ cm、$h = 15$ cmなので、

$V_{円柱} = \pi (3)^2 (15) = 135\pi \text{ cm}^3$

次に、45度傾けた際にこぼれた水の体積を考える。

45度傾けたとき、容器に残った水の体積は、もとの体積の半分に等しい。

こぼれた水の体積は、高さ15cmの半分、つまり7.5cmの円柱部分に相当する。

残った水の体積は、元の円柱の体積から、傾けることによってこぼれた体積を引いたものと考えることができるが、今回は45度傾けているので、円柱の半分が残っていると考えるのが妥当である。したがって、残った水の体積は、円柱の体積の半分である。

$V_{残} = \frac{1}{2} V_{円柱} = \frac{1}{2} (135\pi) = 67.5\pi \text{ cm}^3$

3. 最終的な答え

$67.5\pi$ cm$^3$