空間内に与えられた条件を満たす平面の方程式を求める問題です。具体的には、以下の3つの問題を解きます。 (1) 3点A(1,4,2), B(3,-2,0), C(2,1,3) を通る平面の方程式を求めます。 (2) 3点O(0,0,0), A(1,2,3), B(-2,1,-1) を通る平面の方程式を求めます。 (3) 直線 $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{3} = 2-z$ に垂直で点 (5,-3,1) を通る平面の方程式を求めます。

1. 問題の内容

空間内に与えられた条件を満たす平面の方程式を求める問題です。具体的には、以下の3つの問題を解きます。

(1) 3点A(1,4,2), B(3,-2,0), C(2,1,3) を通る平面の方程式を求めます。

(2) 3点O(0,0,0), A(1,2,3), B(-2,1,-1) を通る平面の方程式を求めます。

(3) 直線 $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{3} = 2-z$ に垂直で点 (5,-3,1) を通る平面の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 3点A(1,4,2), B(3,-2,0), C(2,1,3) を通る平面

3点A, B, Cを通る平面の法線ベクトルを $\vec{n} = (a, b, c)$ とします。

$\vec{AB} = (2, -6, -2)$

$\vec{AC} = (1, -3, 1)$

$\vec{n}$ は $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ に垂直なので、

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6(1) - (-2)(-3) \\ -2(1) - 2(1) \\ 2(-3) - (-6)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 - 6 \\ -2 - 2 \\ -6 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec{n}$ は $(-12, -4, 0)$ に平行なベクトルなので、$\vec{n} = (3, 1, 0)$ とできます。

平面の方程式は $3(x-1) + 1(y-4) + 0(z-2) = 0$

$3x - 3 + y - 4 = 0$

$3x + y - 7 = 0$

(2) 3点O(0,0,0), A(1,2,3), B(-2,1,-1) を通る平面

3点O, A, Bを通る平面の法線ベクトルを $\vec{n} = (a, b, c)$ とします。

$\vec{OA} = (1, 2, 3)$

$\vec{OB} = (-2, 1, -1)$

$\vec{n}$ は $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ に垂直なので、

$\vec{n} = \vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(-1) - 3(1) \\ 3(-2) - 1(-1) \\ 1(1) - 2(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 - 3 \\ -6 + 1 \\ 1 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -5 \\ 5 \end{pmatrix}$

$\vec{n}$ は $(-5, -5, 5)$ に平行なベクトルなので、$\vec{n} = (1, 1, -1)$ とできます。

平面の方程式は $1(x-0) + 1(y-0) - 1(z-0) = 0$

$x + y - z = 0$

(3) 直線 $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{3} = 2-z$ に垂直で点 (5,-3,1) を通る平面

直線 $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{3} = 2-z$ の方向ベクトルは $\vec{d} = (2, 3, -1)$ です。

この直線に垂直な平面の法線ベクトルは $\vec{n} = (2, 3, -1)$ とできます。

平面の方程式は $2(x-5) + 3(y-(-3)) - 1(z-1) = 0$

$2x - 10 + 3y + 9 - z + 1 = 0$

$2x + 3y - z = 0$

3. 最終的な答え

(1) $3x + y - 7 = 0$

(2) $x + y - z = 0$

(3) $2x + 3y - z = 0$