座標平面上に円C: $(x-a)^2 + y^2 = 9$ と直線l: $y = \frac{4}{3}x$ がある。ただし、$a$ は実数で、$a>0$ である。 (1) 円Cと直線lが接するときの $a$ の値を求める。 (2) 中心がx軸上にあり、かつ直線lと円Cの両方に接する円$C_1$の中心の座標と半径を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に円C: $(x-a)^2 + y^2 = 9$ と直線l: $y = \frac{4}{3}x$ がある。ただし、$a$ は実数で、$a>0$ である。

(1) 円Cと直線lが接するときの $a$ の値を求める。

(2) 中心がx軸上にあり、かつ直線lと円Cの両方に接する円$C_1$の中心の座標と半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円Cと直線lが接する条件を考える。

円Cの中心(a, 0)と直線l: $4x - 3y = 0$ の距離が、円Cの半径3に等しいことを利用する。点と直線の距離の公式より、

$\frac{|4a - 3(0)|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = 3$

$\frac{|4a|}{5} = 3$

$|4a| = 15$

$4a = 15$ (∵ a > 0)

$a = \frac{15}{4}$

(2) 円$C_1$の中心の座標を $(t, 0)$、半径を $r$ とする。円$C_1$の式は $(x-t)^2 + y^2 = r^2$ となる。

円$C_1$が直線l: $4x - 3y = 0$ に接するので、中心$(t, 0)$ と直線lの距離は $r$ に等しい。

$\frac{|4t|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = r$

$\frac{|4t|}{5} = r$

$r = \frac{|4t|}{5}$

また、円$C_1$が円C: $(x - \frac{15}{4})^2 + y^2 = 9$ に接するので、中心間の距離は半径の和または差に等しい。

$\sqrt{(t - \frac{15}{4})^2 + (0 - 0)^2} = |3 \pm r|$

$|t - \frac{15}{4}| = |3 \pm r|$

$t - \frac{15}{4} = 3 \pm r$ または $t - \frac{15}{4} = -3 \mp r$

$t = \frac{15}{4} + 3 \pm r$ または $t = \frac{15}{4} - 3 \mp r$

$t = \frac{27}{4} \pm r$ または $t = \frac{3}{4} \mp r$

$r = \frac{|4t|}{5}$ を代入する。

(i) $t = \frac{27}{4} + r$ のとき、

$t = \frac{27}{4} + \frac{|4t|}{5}$

$5t = \frac{135}{4} + |4t|$

(a) $t \ge 0$ のとき、$5t = \frac{135}{4} + 4t$ より、$t = \frac{135}{4}$。

$r = \frac{4}{5}t = \frac{4}{5} \cdot \frac{135}{4} = 27$

(b) $t < 0$ のとき、$5t = \frac{135}{4} - 4t$ より、$9t = \frac{135}{4}$。$t = \frac{15}{4}$ となり、$t < 0$ に矛盾。

(ii) $t = \frac{27}{4} - r$ のとき、

$t = \frac{27}{4} - \frac{|4t|}{5}$

$5t = \frac{135}{4} - |4t|$

(a) $t \ge 0$ のとき、$5t = \frac{135}{4} - 4t$ より、$9t = \frac{135}{4}$。$t = \frac{15}{4}$。

$r = \frac{4}{5}t = \frac{4}{5} \cdot \frac{15}{4} = 3$。これは円Cと一致するため不適。

(b) $t < 0$ のとき、$5t = \frac{135}{4} + 4t$ より、$t = \frac{135}{4}$ となり、$t < 0$ に矛盾。

(iii) $t = \frac{3}{4} - r$ のとき、

$t = \frac{3}{4} - \frac{|4t|}{5}$

$5t = \frac{15}{4} - |4t|$

(a) $t \ge 0$ のとき、$5t = \frac{15}{4} - 4t$ より、$9t = \frac{15}{4}$。$t = \frac{5}{12}$。

$r = \frac{4}{5}t = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{12} = \frac{1}{3}$。

(b) $t < 0$ のとき、$5t = \frac{15}{4} + 4t$ より、$t = \frac{15}{4}$ となり、$t < 0$ に矛盾。

(iv) $t = \frac{3}{4} + r$ のとき、

$t = \frac{3}{4} + \frac{|4t|}{5}$

$5t = \frac{15}{4} + |4t|$

(a) $t \ge 0$ のとき、$5t = \frac{15}{4} + 4t$ より、$t = \frac{15}{4}$。

$r = \frac{4}{5}t = \frac{4}{5} \cdot \frac{15}{4} = 3$。これは円Cと一致するため不適。

(b) $t < 0$ のとき、$5t = \frac{15}{4} - 4t$ より、$9t = \frac{15}{4}$。$t = \frac{5}{12}$ となり、$t < 0$ に矛盾。

したがって、$(t, 0, r) = (\frac{135}{4}, 0, 27)$ または $(\frac{5}{12}, 0, \frac{1}{3})$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{15}{4}$

(2) 中心$(\frac{135}{4}, 0)$、半径27または中心$(\frac{5}{12}, 0)$、半径$\frac{1}{3}$