三角形OABにおいて、OA=2、OB=3、AB=4である。点Oから辺ABに下ろした垂線の足をHとする。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$とおくとき、$\vec{OH}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、OA=2、OB=3、AB=4である。点Oから辺ABに下ろした垂線の足をHとする。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$とおくとき、$\vec{OH}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OH}$は直線AB上にあるので、実数$t$を用いて、

$$\vec{OH} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$$

と表せる。

次に、$\vec{OH} \perp \vec{AB}$であるから、$\vec{OH} \cdot \vec{AB} = 0$となる。

$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$なので、

$$((1-t)\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0$$

$(1-t)\vec{a} \cdot \vec{b} - (1-t)|\vec{a}|^2 + t|\vec{b}|^2 - t\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{b} - t\vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{a}|^2 + t|\vec{a}|^2 + t|\vec{b}|^2 - t\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$t(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b}$

$|\vec{AB}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2$より

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - |\vec{AB}|^2}{2} = \frac{2^2 + 3^2 - 4^2}{2} = \frac{4 + 9 - 16}{2} = -\frac{3}{2}$

したがって、

$t(2^2 + 3^2 - 2 \times (-\frac{3}{2})) = 2^2 - (-\frac{3}{2})$

$t(4 + 9 + 3) = 4 + \frac{3}{2}$

$16t = \frac{11}{2}$

$t = \frac{11}{32}$

よって、

$\vec{OH} = (1-\frac{11}{32})\vec{a} + \frac{11}{32}\vec{b} = \frac{21}{32}\vec{a} + \frac{11}{32}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{OH} = \frac{21}{32}\vec{a} + \frac{11}{32}\vec{b}$