平面上にベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ があり、 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$, $|\vec{a} - \vec{b}| = 2\sqrt{3}$ を満たしている。 $(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0$ を満たすベクトル $\vec{p}$ について、 $|\vec{p}|$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

平面上にベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ があり、 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$, $|\vec{a} - \vec{b}| = 2\sqrt{3}$ を満たしている。 $(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0$ を満たすベクトル $\vec{p}$ について、 $|\vec{p}|$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、 $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$ を計算する。

$|\vec{a} - \vec{b}| = 2\sqrt{3}$ より、 $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (2\sqrt{3})^2 = 12$ である。

また、$|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$ より、$|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 = 4$ である。

したがって、$12 = 4 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 4$ となるので、 $-2\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ より、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$ となる。

次に、 $(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0$ を展開する。

$(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = \vec{p} \cdot \vec{p} - \vec{p} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{p} + \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{p}|^2 - \vec{p} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$ を代入すると、 $|\vec{p}|^2 - \vec{p} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) - 2 = 0$ となる。

これを変形して $|\vec{p}|^2 - \vec{p} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 2$ となる。

両辺に $|\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}|^2$ を加えることで、

$|\vec{p}|^2 - \vec{p} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) + |\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}|^2 = 2 + |\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}|^2$

$(\vec{p} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2})^2 = |\vec{p} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}|^2 = 2 + \frac{|\vec{a} + \vec{b}|^2}{4}$

$|\vec{p} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}| = \sqrt{2 + \frac{|\vec{a} + \vec{b}|^2}{4}}$

ここで、 $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 4 + 2(-2) + 4 = 4$ なので、 $|\vec{a} + \vec{b}| = 2$ となる。

したがって、 $|\vec{p} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}| = \sqrt{2 + \frac{4}{4}} = \sqrt{3}$

これはベクトル $\vec{p}$ の終点が、中心が $\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ で半径が $\sqrt{3}$ の円周上にあることを意味する。

$|\vec{p}| = |\vec{p} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} + \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}| \le |\vec{p} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}| + |\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}|$

$|\vec{p}| \le \sqrt{3} + |\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}| = \sqrt{3} + \frac{|\vec{a} + \vec{b}|}{2} = \sqrt{3} + \frac{2}{2} = \sqrt{3} + 1$ (最大値)

$|\vec{p}| \ge | |\vec{p} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}| - |\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}| | = |\sqrt{3} - 1|$

最小値は $|\sqrt{3}-1| = \sqrt{3} - 1$

3. 最終的な答え

最大値: $\sqrt{3} + 1$

最小値: $\sqrt{3} - 1$