ベクトル $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$、$\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}$、$\vec{w} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下のものを求めます。 (1) 外積 $\vec{u} \times \vec{v}$ と $\vec{u} \times \vec{w}$ (2) ベクトル $\vec{u}$ と $\vec{w}$ で作られる平行四辺形の面積 (3) スカラー三重積 $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ (4) ベクトル $\vec{u}$、$\vec{v}$、$\vec{w}$ によって作られる平行六面体の体積

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$、$\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}$、$\vec{w} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下のものを求めます。

(1) 外積 $\vec{u} \times \vec{v}$ と $\vec{u} \times \vec{w}$

(2) ベクトル $\vec{u}$ と $\vec{w}$ で作られる平行四辺形の面積

(3) スカラー三重積 $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$

(4) ベクトル $\vec{u}$、$\vec{v}$、$\vec{w}$ によって作られる平行六面体の体積

2. 解き方の手順

(1) 外積 $\vec{u} \times \vec{v}$ と $\vec{u} \times \vec{w}$ を計算します。

外積の公式：

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}$

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} (-3)(-5) - (4)(0) \\ (4)(1) - (2)(-5) \\ (2)(0) - (-3)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 14 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\vec{u} \times \vec{w} = \begin{pmatrix} (-3)(3) - (4)(-1) \\ (4)(-2) - (2)(3) \\ (2)(-1) - (-3)(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 + 4 \\ -8 - 6 \\ -2 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -14 \\ -8 \end{pmatrix}$

(2) ベクトル $\vec{u}$ と $\vec{w}$ で作られる平行四辺形の面積は、外積 $\vec{u} \times \vec{w}$ の絶対値です。

$|\vec{u} \times \vec{w}| = \sqrt{(-5)^2 + (-14)^2 + (-8)^2} = \sqrt{25 + 196 + 64} = \sqrt{285}$

(3) スカラー三重積 $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ を計算します。

まず、$\vec{v} \times \vec{w}$ を計算します。

$\vec{v} \times \vec{w} = \begin{pmatrix} (0)(3) - (-5)(-1) \\ (-5)(-2) - (1)(3) \\ (1)(-1) - (0)(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - 5 \\ 10 - 3 \\ -1 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}$

次に、$\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ を計算します。

$\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = (2)(-5) + (-3)(7) + (4)(-1) = -10 - 21 - 4 = -35$

(4) ベクトル $\vec{u}$、$\vec{v}$、$\vec{w}$ によって作られる平行六面体の体積は、スカラー三重積 $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ の絶対値です。

$|\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})| = |-35| = 35$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 15 \\ 14 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{u} \times \vec{w} = \begin{pmatrix} -5 \\ -14 \\ -8 \end{pmatrix}$

(2) $\sqrt{285}$

(3) $-35$

(4) $35$