図において、$\angle D$ の大きさを求める問題です。図には、線分ACの長さが6、線分BCの長さが$\sqrt{3}$、線分CDの長さが$3\sqrt{5}$、$\angle BAC=30^{\circ}$、$\angle ABC=120^{\circ}$であることが示されています。

1. 問題の内容

図において、$\angle D$ の大きさを求める問題です。図には、線分ACの長さが6、線分BCの長さが$\sqrt{3}$、線分CDの長さが$3\sqrt{5}$、$\angle BAC=30^{\circ}$、$\angle ABC=120^{\circ}$であることが示されています。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABC$ において、$\angle ACB$ の大きさを求めます。三角形の内角の和は $180^\circ$ であるから、

$\angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 30^\circ - 120^\circ = 30^\circ$

したがって、$\angle ACB = 30^\circ$ であることがわかります。

次に、$\triangle ABC$において、$\angle BAC = \angle ACB = 30^{\circ}$なので、$\triangle ABC$は二等辺三角形であることがわかります。よって、$AB = BC = \sqrt{3}$となります。

ここで、問題文に$AB=6$とあるので、これは問題文の誤りと考えられます。もし$AB=6$ならば、$\angle ACB$は30度ではないので、三角形ABCは二等辺三角形ではありません。

ですが、もしこの問題の前提として、$\angle ACB = 90^{\circ}$であるならば、$\triangle BCD$が直角三角形になるので、$\angle D$が求められます。

$\triangle BCD$について、ピタゴラスの定理より、

$BD^2 = BC^2 + CD^2$

$BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{5})^2} = \sqrt{3 + 45} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

$\tan(\angle D) = \frac{BC}{CD} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{5}} = \frac{1}{3\sqrt{5/3}} = \frac{1}{3\sqrt{\frac{5}{3}}}$

$\tan(\angle D) = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{15}}$

しかし、問題文の通り$\angle ACB$が直角ではない場合、別の解法が必要になります。

$\triangle ABC$に対して、正弦定理を用いると、

$\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}$

$\frac{6}{\sin(\angle ACB)} = \frac{\sqrt{3}}{\sin(30^{\circ})} = \frac{AC}{\sin(120^{\circ})}$

$\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$

$\sin(120^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{6}{\sin(\angle ACB)} = \frac{\sqrt{3}}{1/2} = 2\sqrt{3}$

$\sin(\angle ACB) = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

しかし、$\sin(\angle ACB) = \sqrt{3}$は、$\sin$関数の取りうる値の範囲を超えているので、これも矛盾しています。

問題文もしくは図に誤りがあると仮定して、$\angle ACB = 90^{\circ}$であると仮定して解答します。このとき、$\triangle BCD$は直角三角形となり、

$\tan{(\angle D)} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{15}}$

$\angle D = \arctan{\frac{1}{\sqrt{15}}} \approx 15.28^{\circ}$

3. 最終的な答え

問題文に誤りがある可能性が高いですが、$\angle ACB=90^{\circ}$と仮定すると、$\angle D = \arctan(\frac{1}{\sqrt{15}})$ となり、約 $15.28^{\circ}$ です。