図において、$\angle D$ の大きさを求める問題です。図には、$\angle ABC = 120^\circ$, $\angle BAC = 30^\circ$, $AB = 6$, $BC = \sqrt{3}$, $CD = 3\sqrt{3}$ の情報が与えられています。

1. 問題の内容

図において、$\angle D$ の大きさを求める問題です。図には、$\angle ABC = 120^\circ$, $\angle BAC = 30^\circ$, $AB = 6$, $BC = \sqrt{3}$, $CD = 3\sqrt{3}$ の情報が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、三角形 ABC において、$\angle ACB$ を求めます。三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、

$\angle ACB = 180^\circ - \angle ABC - \angle BAC = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ$

よって、$\angle ACB = 30^\circ$ となります。

三角形 ABC において、$\angle BAC = \angle ACB = 30^\circ$ なので、三角形 ABC は二等辺三角形であり、$AB = BC$ であることが予想されますが、$AB=6, BC=\sqrt{3}$ より異なります。

正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{BC}{\sin \angle BAC}$

$\frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 30^\circ}$

これは明らかに矛盾しているので、図が正確ではない可能性があります。

ここで、$\angle ACB = 30^\circ$ であることは確定しています。また、$AC$ の長さを求めます。

正弦定理より、

$\frac{AC}{\sin \angle ABC} = \frac{BC}{\sin \angle BAC}$

$\frac{AC}{\sin 120^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 30^\circ}$

$AC = \frac{\sqrt{3} \sin 120^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$

したがって、$AC=3$ です。

次に、三角形 ACD に注目します。$AC=3$, $CD = 3\sqrt{3}$ であり、$AD = 6$ です。

ここで、$AC^2 + CD^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + 27 = 36 = 6^2 = AD^2$ となるため、三角形 ACD は $\angle ACD$ を直角とする直角三角形です。

したがって、$\angle ACD = 90^\circ$ となります。

$\tan \angle CAD = \frac{CD}{AC} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ より、$\angle CAD = 60^\circ$ です。

同様に、$\tan \angle ADC = \frac{AC}{CD} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ より、$\angle ADC = 30^\circ$ です。

よって、$\angle D = 30^\circ$ となります。

3. 最終的な答え

$\angle D = 30^\circ$