2点 $F(0, 8)$と$F'(0, -8)$からの距離の和が20である楕円の方程式を求めます。楕円上の点を$P(x, y)$とします。

1. 問題の内容

2点 $F(0, 8)$と$F'(0, -8)$からの距離の和が20である楕円の方程式を求めます。楕円上の点を$P(x, y)$とします。

2. 解き方の手順

楕円の定義より、$PF + PF' = 20$が成り立ちます。

2点間の距離の公式を用いて、$PF$と$PF'$を求めます。

$PF = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 8)^2} = \sqrt{x^2 + (y - 8)^2}$

$PF' = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - (-8))^2} = \sqrt{x^2 + (y + 8)^2}$

したがって、$\sqrt{x^2 + (y - 8)^2} + \sqrt{x^2 + (y + 8)^2} = 20$となります。

$\sqrt{x^2 + (y + 8)^2} = 20 - \sqrt{x^2 + (y - 8)^2}$

両辺を2乗すると

$x^2 + (y + 8)^2 = 400 - 40\sqrt{x^2 + (y - 8)^2} + x^2 + (y - 8)^2$

$x^2 + y^2 + 16y + 64 = 400 - 40\sqrt{x^2 + (y - 8)^2} + x^2 + y^2 - 16y + 64$

$32y - 400 = -40\sqrt{x^2 + (y - 8)^2}$

$8y - 100 = -10\sqrt{x^2 + (y - 8)^2}$

$4y - 50 = -5\sqrt{x^2 + (y - 8)^2}$

両辺を2乗すると

$(4y - 50)^2 = 25(x^2 + (y - 8)^2)$

$16y^2 - 400y + 2500 = 25x^2 + 25(y^2 - 16y + 64)$

$16y^2 - 400y + 2500 = 25x^2 + 25y^2 - 400y + 1600$

$25x^2 + 9y^2 = 900$

$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{100} = 1$

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{100} = 1$