$\tan \theta = -\frac{1}{3}$ であり、$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ であるとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。画像にある三角関数の問題を解きます。今回は、(7)の問題を解きます。

1. 問題の内容

$\tan \theta = -\frac{1}{3}$ であり、$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ であるとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であることを利用する。また、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ であることを利用する。

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ より、$\theta$ は第2象限の角である。第2象限では、$\sin \theta > 0$ であり、$\cos \theta < 0$ である。

まず、$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ を利用して $\cos \theta$ を求める。

$1 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$1 + \frac{1}{9} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\frac{10}{9} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{9}{10}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{9}{10}} = \pm \frac{3}{\sqrt{10}} = \pm \frac{3\sqrt{10}}{10}$

$\theta$ は第2象限の角なので、$\cos \theta < 0$ であるから、$\cos \theta = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ より、$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta$ を利用して $\sin \theta$ を求める。

$\sin \theta = \left(-\frac{1}{3}\right) \left(-\frac{3\sqrt{10}}{10}\right) = \frac{\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\cos \theta = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$