aは正の実数とする。 円C：$(x-a)^2 + y^2 = 9$が直線$l$：$y = \frac{4}{3}x$と接している。 (1) aの値を求める。 (2) 円$C_1$はCと異なる円で、中心がx軸上にあり、$l$とCの両方に接している。円$C_1$の中心の座標および半径を求める。

1. 問題の内容

aは正の実数とする。

円C：$(x-a)^2 + y^2 = 9$が直線$l$：$y = \frac{4}{3}x$と接している。

(1) aの値を求める。

(2) 円$C_1$はCと異なる円で、中心がx軸上にあり、$l$とCの両方に接している。円$C_1$の中心の座標および半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円C：$(x-a)^2 + y^2 = 9$と直線$l$：$y = \frac{4}{3}x$が接するので、円Cの中心$(a, 0)$と直線$l$の距離が円の半径$3$に等しい。

点$(x_0, y_0)$と直線$ax+by+c=0$の距離は$\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$で与えられる。

直線$l$を$4x-3y=0$と変形すると、点$(a, 0)$と直線$4x-3y=0$の距離は$\frac{|4a-3(0)|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} = \frac{|4a|}{\sqrt{16+9}} = \frac{4a}{5}$となる。

これが円の半径3に等しいので、

$\frac{4a}{5} = 3$

$4a = 15$

$a = \frac{15}{4}$

(2) 円$C_1$の中心を$(b, 0)$、半径を$r$とする。

円$C_1$は直線$l$：$y = \frac{4}{3}x$に接するので、点$(b, 0)$と直線$l$の距離は$r$に等しい。

$\frac{|4b|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} = \frac{4|b|}{5} = r$

円$C_1$は円C：$(x-a)^2 + y^2 = 9$に接するので、中心間の距離は半径の和または差に等しい。

中心間の距離は$\sqrt{(b-a)^2 + (0-0)^2} = |b-a| = |b-\frac{15}{4}|$

半径の和または差は$3+r$または$|3-r|$

$|b-\frac{15}{4}| = 3+r$　または　$|b-\frac{15}{4}| = |3-r|$

$r = \frac{4|b|}{5}$より、

$|b-\frac{15}{4}| = 3+\frac{4|b|}{5}$　または　$|b-\frac{15}{4}| = |3-\frac{4|b|}{5}|$

(i) $|b-\frac{15}{4}| = 3+\frac{4|b|}{5}$の場合

(a) $b \ge \frac{15}{4}$の場合、 $b-\frac{15}{4} = 3+\frac{4b}{5}$となる。

$b-\frac{4b}{5} = 3+\frac{15}{4}$

$\frac{b}{5} = \frac{12+15}{4} = \frac{27}{4}$

$b = \frac{135}{4}$

このとき、$r = \frac{4}{5}b = \frac{4}{5}\frac{135}{4} = 27$

(b) $0 \le b < \frac{15}{4}$の場合、 $\frac{15}{4}-b = 3+\frac{4b}{5}$となる。

$\frac{15}{4} - 3 = \frac{4b}{5} + b$

$\frac{15-12}{4} = \frac{9b}{5}$

$\frac{3}{4} = \frac{9b}{5}$

$b = \frac{3}{4} \frac{5}{9} = \frac{5}{12}$

このとき、$r = \frac{4}{5}b = \frac{4}{5}\frac{5}{12} = \frac{1}{3}$

(c) $b < 0$の場合、$\frac{15}{4} - b = 3-\frac{4b}{5}$となる。

$\frac{15}{4} - 3 = -\frac{4b}{5} + b$

$\frac{3}{4} = \frac{b}{5}$

$b = \frac{15}{4}$

これは$b<0$に矛盾。

(ii) $|b-\frac{15}{4}| = |3-\frac{4|b|}{5}|$の場合

(a) $b \ge \frac{15}{4}$の場合、$b-\frac{15}{4} = |3-\frac{4b}{5}|$となる。

$3-\frac{4b}{5} \ge 0$ならば$b \le \frac{15}{4}$となるので矛盾。

$3-\frac{4b}{5} < 0$ならば、$b-\frac{15}{4} = -3+\frac{4b}{5}$

$\frac{b}{5} = \frac{15}{4}-3 = \frac{3}{4}$

$b=\frac{15}{4}$

矛盾する。

(b) $0 \le b < \frac{15}{4}$の場合、$\frac{15}{4}-b = |3-\frac{4b}{5}|$となる。

$3-\frac{4b}{5} \ge 0$ならば、$b \le \frac{15}{4}$なので成り立つ。$\frac{15}{4}-b = 3-\frac{4b}{5}$

$\frac{15}{4}-3 = b-\frac{4b}{5}$

$\frac{3}{4} = \frac{b}{5}$

$b = \frac{15}{4}$

これは$b < \frac{15}{4}$に矛盾。

$3-\frac{4b}{5} < 0$ならば、$b > \frac{15}{4}$なので矛盾。

(c) $b < 0$の場合、$\frac{15}{4}-b = |3+\frac{4b}{5}|$となる。

$3+\frac{4b}{5} > 0$ならば、$b > -\frac{15}{4}$

$\frac{15}{4}-b = 3+\frac{4b}{5}$

$\frac{3}{4} = \frac{9b}{5}$

$b = \frac{5}{12}$

これは$b<0$に矛盾。

$3+\frac{4b}{5} < 0$ならば、$b < -\frac{15}{4}$

$\frac{15}{4}-b = -3-\frac{4b}{5}$

$\frac{15}{4}+3 = b-\frac{4b}{5}$

$\frac{27}{4} = \frac{b}{5}$

$b = \frac{135}{4}$

これは$b<0$に矛盾。

したがって、$b=\frac{135}{4}, r=27$または$b=\frac{5}{12}, r=\frac{1}{3}$

円$C_1$は円Cと異なる円なので、$b = \frac{135}{4}, r = 27$と$b = \frac{5}{12}, r = \frac{1}{3}$が答え。

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{15}{4}$

(2) 中心$(\frac{135}{4}, 0)$、半径$27$または中心$(\frac{5}{12}, 0)$、半径$\frac{1}{3}$