正六角錐O-ABCDEFにおいて、正六角形ABCDEFの一辺の長さが6cmであり、線分OHの長さが9cmである。 (1) 辺OAの長さを求めよ。 (2) 正六角錐O-ABCDEFの体積を求めよ。

1. 問題の内容

正六角錐O-ABCDEFにおいて、正六角形ABCDEFの一辺の長さが6cmであり、線分OHの長さが9cmである。

(1) 辺OAの長さを求めよ。

(2) 正六角錐O-ABCDEFの体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 辺OAの長さを求める。

正六角形ABCDEFの中心をHとすると、三角形OHAは直角三角形になる。

正六角形の性質より、AHの長さは、正六角形の対角線ADの半分の長さになる。

正六角形は、6つの正三角形で構成されるので、ADの長さは、正三角形の一辺の長さの2倍になる。したがって、ADの長さは、$6 \times 2 = 12$ cmとなる。

AHの長さはADの半分の長さなので、$AH = \frac{12}{2} = 6$ cm。

三角形OHAは直角三角形なので、ピタゴラスの定理より、$OA^2 = OH^2 + AH^2$。

$OA^2 = 9^2 + 6^2 = 81 + 36 = 117$

$OA = \sqrt{117} = \sqrt{9 \times 13} = 3\sqrt{13}$ cm

(2) 正六角錐O-ABCDEFの体積を求める。

正六角錐の体積は、底面積 $\times$ 高さ $\times \frac{1}{3}$ で求められる。

底面積は、正六角形ABCDEFの面積である。

正六角形は、一辺が6cmの正三角形6つで構成される。

正三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 一辺^2$ である。

正三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3}$。

正六角形の面積は $6 \times 9\sqrt{3} = 54\sqrt{3}$。

正六角錐の体積は $54\sqrt{3} \times 9 \times \frac{1}{3} = 54\sqrt{3} \times 3 = 162\sqrt{3}$。

3. 最終的な答え

(1) 辺OAの長さ：$3\sqrt{13}$ cm

(2) 正六角錐O-ABCDEFの体積：$162\sqrt{3}$ cm$^3$