三角形ABCの辺の長さがそれぞれAB = $x$, BC = $x+12$, CA = $6x$であるとき、$x$のとり得る値の範囲を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCの辺の長さがそれぞれAB = $x$, BC = $x+12$, CA = $6x$であるとき、$x$のとり得る値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

三角形が成立するための条件は、任意の2辺の長さの和が残りの1辺の長さよりも大きいことである。したがって、以下の3つの不等式が成り立つ必要がある。

(1) $x + (x + 12) > 6x$

(2) $x + 6x > x + 12$

(3) $(x + 12) + 6x > x$

それぞれの不等式を解く。

(1)

$x + x + 12 > 6x$

$2x + 12 > 6x$

$12 > 4x$

$x < 3$

(2)

$x + 6x > x + 12$

$7x > x + 12$

$6x > 12$

$x > 2$

(3)

$x + 12 + 6x > x$

$7x + 12 > x$

$6x > -12$

$x > -2$

また、三角形の辺の長さは正である必要があるため、$x > 0$, $x + 12 > 0$, $6x > 0$でなければならない。これらから、$x > 0$。

したがって、$x$の範囲は、

$x < 3$, $x > 2$, $x > 0$

この3つの条件を全て満たすのは、$2 < x < 3$。

3. 最終的な答え

$2 < x < 3$