三角関数の問題で、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ のうち1つの値と $\theta$ がどの象限の角であるかが与えられたときに、残りの2つの値を求める問題です。

1. 問題の内容

三角関数の問題で、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ のうち1つの値と $\theta$ がどの象限の角であるかが与えられたときに、残りの2つの値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(2) $\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ ($\theta$は第4象限の角)

第4象限では、$\cos \theta > 0$, $\sin \theta < 0$, $\tan \theta < 0$です。

まず、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\sin \theta$ を求めます。

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{2}{\sqrt{5}})^2 = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$

$\sin \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\theta$は第4象限の角なので、$\sin \theta = - \frac{1}{\sqrt{5}}$

次に、$\tan \theta$ を求めます。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}} = - \frac{1}{2}$

(4) $\sin \theta = \frac{2}{3}$ ($\theta$は第2象限の角)

第2象限では、$\sin \theta > 0$, $\cos \theta < 0$, $\tan \theta < 0$です。

まず、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\cos \theta$ を求めます。

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\theta$は第2象限の角なので、$\cos \theta = - \frac{\sqrt{5}}{3}$

次に、$\tan \theta$ を求めます。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}} = - \frac{2}{\sqrt{5}}$

3. 最終的な答え

(2) $\sin \theta = - \frac{1}{\sqrt{5}}$, $\tan \theta = - \frac{1}{2}$

(4) $\cos \theta = - \frac{\sqrt{5}}{3}$, $\tan \theta = - \frac{2}{\sqrt{5}}$