$0^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\tan \theta = -\frac{1}{2}$ のときの $\cos \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\tan \theta = -\frac{1}{2}$ のときの $\cos \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ の公式を使う。

$\tan \theta = -\frac{1}{2}$ なので、これを代入する。

$(-\frac{1}{2})^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\frac{1}{4} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\frac{5}{4} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{4}{5}$

したがって、$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

ここで、 $0^\circ < \theta < 180^\circ$ であることを考慮する。$\tan \theta = -\frac{1}{2} < 0$ であることから、$\theta$ は第2象限の角であることがわかる。

第2象限では、$\cos \theta < 0$ なので、$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$ である。

3. 最終的な答え

$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$