(3) 線分ABを直径とする円Oの円周上の点Cにおける接線と直線ABとの交点をDとする。$AB=2$, $\angle ADC = 30^\circ$のとき、$CD$の値を求めなさい。ただし、円Oの点Cにおける接線は直線ABと平行ではないものとする。 (4) $ab+a+b=9$ を満たす整数 $a, b$ の組 $(a, b)$ の個数を求めなさい。

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

(3) 線分ABを直径とする円Oの円周上の点Cにおける接線と直線ABとの交点をDとする。$AB=2$, $\angle ADC = 30^\circ$のとき、$CD$の値を求めなさい。ただし、円Oの点Cにおける接線は直線ABと平行ではないものとする。

(4) $ab+a+b=9$ を満たす整数 $a, b$ の組 $(a, b)$ の個数を求めなさい。

2. 解き方の手順

(3)

円Oの半径は$AB/2 = 2/2 = 1$である。点Cにおける接線を考えるとき、OCは接線と直交する。したがって、$\angle OCD=90^\circ$である。

$\angle ODC = 30^\circ$より、$\tan(\angle ODC) = \tan(30^\circ) = \frac{OC}{CD} = \frac{1}{CD}$である。

$\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$であるから、$\frac{1}{CD} = \frac{1}{\sqrt{3}}$が成り立つ。よって、$CD = \sqrt{3}$となる。

(4)

$ab+a+b=9$を変形する。両辺に1を加えると、$ab+a+b+1 = 10$となる。

この式は$(a+1)(b+1)=10$と因数分解できる。$a, b$は整数なので、$a+1$と$b+1$も整数である。

10の約数は$\pm1, \pm2, \pm5, \pm10$である。

以下の組み合わせが考えられる。

\begin{itemize}

\item $a+1 = 1, b+1 = 10 \implies a=0, b=9$

\item $a+1 = 10, b+1 = 1 \implies a=9, b=0$

\item $a+1 = 2, b+1 = 5 \implies a=1, b=4$

\item $a+1 = 5, b+1 = 2 \implies a=4, b=1$

\item $a+1 = -1, b+1 = -10 \implies a=-2, b=-11$

\item $a+1 = -10, b+1 = -1 \implies a=-11, b=-2$

\item $a+1 = -2, b+1 = -5 \implies a=-3, b=-6$

\item $a+1 = -5, b+1 = -2 \implies a=-6, b=-3$

\end{itemize}

したがって、整数解は8組存在する。

3. 最終的な答え

(3) $\sqrt{3}$

(4) 8組