問題は以下の通りです。 - 円 $C: (x-a)^2 + y^2 = 8$ が直線 $l: y = \frac{4}{3}x$ に接している。ただし、$a$ は実数で $a > 0$ である。 (1) $a$ の値を求める。 (2) 円 $C_1$ は、$C$ と異なる円であり、中心が $x$ 軸上にあり、$l$ と $C$ の両方に接している。$C_1$ の中心の座標と半径を求める。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

- 円 $C: (x-a)^2 + y^2 = 8$ が直線 $l: y = \frac{4}{3}x$ に接している。ただし、$a$ は実数で $a > 0$ である。

(1) $a$ の値を求める。

(2) 円 $C_1$ は、$C$ と異なる円であり、中心が $x$ 軸上にあり、$l$ と $C$ の両方に接している。$C_1$ の中心の座標と半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C$ と直線 $l$ が接するという条件から、$a$ の値を求める。

円 $C$ の中心 $(a, 0)$ と直線 $l: 4x - 3y = 0$ の距離 $d$ は、円の半径 $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ に等しい。

点と直線の距離の公式より、

$$d = \frac{|4a - 3(0)|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|4a|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{4a}{5}$$

（∵ $a > 0$ より $|4a| = 4a$）

したがって、

$\frac{4a}{5} = 2\sqrt{2}$

$4a = 10\sqrt{2}$

$a = \frac{10\sqrt{2}}{4} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

(2) 円 $C_1$ の中心を $(b, 0)$、半径を $r_1$ とおく。

円 $C_1$ は直線 $l$ に接するので、中心 $(b, 0)$ と直線 $l: 4x - 3y = 0$ の距離は $r_1$ に等しい。

$\frac{|4b|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{4|b|}{5} = r_1$

$r_1 = \frac{4}{5} |b|$

円 $C$ と円 $C_1$ は接するので、中心間の距離は半径の和または差に等しい。

つまり、$\sqrt{(b - a)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(b - \frac{5\sqrt{2}}{2})^2} = |b - \frac{5\sqrt{2}}{2}| = 2\sqrt{2} \pm r_1$

$|b - \frac{5\sqrt{2}}{2}| = 2\sqrt{2} \pm \frac{4}{5} |b|$

場合分けをする。

(i) $b \geq 0$ のとき、$|b| = b$

(a) $b \geq \frac{5\sqrt{2}}{2}$ のとき、$b - \frac{5\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \pm \frac{4}{5} b$

$b - \frac{5\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} + \frac{4}{5} b$ のとき、

$\frac{1}{5} b = \frac{9\sqrt{2}}{2}$

$b = \frac{45\sqrt{2}}{2}$

$r_1 = \frac{4}{5}b = \frac{4}{5} \cdot \frac{45\sqrt{2}}{2} = 18\sqrt{2}$

$b - \frac{5\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} - \frac{4}{5} b$ のとき、

$\frac{9}{5} b = \frac{9\sqrt{2}}{2}$

$b = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

これは $C$ と一致するので不適。

(b) $0 \leq b < \frac{5\sqrt{2}}{2}$ のとき、$\frac{5\sqrt{2}}{2} - b = 2\sqrt{2} \pm \frac{4}{5}b$

$\frac{5\sqrt{2}}{2} - b = 2\sqrt{2} + \frac{4}{5}b$ のとき、

$\frac{9}{5}b = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$b = \frac{5\sqrt{2}}{18}$

$r_1 = \frac{4}{5} \cdot \frac{5\sqrt{2}}{18} = \frac{2\sqrt{2}}{9}$

$\frac{5\sqrt{2}}{2} - b = 2\sqrt{2} - \frac{4}{5}b$ のとき、

$\frac{1}{5} b = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$b = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

これは $C$ と一致するので不適。

(ii) $b < 0$ のとき、$|b| = -b$

$|b - \frac{5\sqrt{2}}{2}| = 2\sqrt{2} \pm \frac{4}{5} (-b)$

$\frac{5\sqrt{2}}{2} - b = 2\sqrt{2} \pm \frac{-4}{5}b$

$\frac{5\sqrt{2}}{2} - b = 2\sqrt{2} - \frac{4}{5} b$ のとき

$\frac{-1}{5}b = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$b = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

不適。

$\frac{5\sqrt{2}}{2} - b = 2\sqrt{2} + \frac{4}{5} b$

$\frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{9}{5} b$

$\frac{5\sqrt{2}}{6} = b$

$b = \frac{5\sqrt{2}}{6}$

$r = \frac{4}{5}|b| = \frac{4}{5} \cdot \frac{5\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

これは$b>0$なので不適。

以上より、$(b, 0) = (\frac{45\sqrt{2}}{2}, 0)$ のとき $r_1 = 18\sqrt{2}$

$(b, 0) = (\frac{5\sqrt{2}}{18}, 0)$ のとき $r_1 = \frac{2\sqrt{2}}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

(2) 中心 $(\frac{45\sqrt{2}}{2}, 0)$, 半径 $18\sqrt{2}$

または、中心 $(\frac{5\sqrt{2}}{18}, 0)$, 半径 $\frac{2\sqrt{2}}{9}$