問題は、与えられた角 $\theta$ に対し、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ のうち1つの値が与えられたとき、残りの2つの値を求める問題です。さらに、$\theta$ がどの象限の角であるかの情報も与えられています。今回は、問題番号(1)から(12)までの全てを解くことはせず、問題番号(1)から(3)までを解きます。

## 問題の回答

1. 問題の内容

問題は、与えられた角 $\theta$ に対し、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ のうち1つの値が与えられたとき、残りの2つの値を求める問題です。さらに、$\theta$ がどの象限の角であるかの情報も与えられています。今回は、問題番号(1)から(12)までの全てを解くことはせず、問題番号(1)から(3)までを解きます。

2. 解き方の手順

**(1) $\sin \theta = -\frac{3}{4}$ ($\theta$は第3象限の角)**

* $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ を利用して $\cos \theta$ を求めます。

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{7}{16}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\theta$ は第3象限の角なので、$\cos \theta < 0$ である必要があります。したがって、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{7}}{4}$ となります。

* $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用して $\tan \theta$ を求めます。

$\tan \theta = \frac{-\frac{3}{4}}{-\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7}$

**(2) $\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ ($\theta$は第4象限の角)**

* $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ を利用して $\sin \theta$ を求めます。

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{1}{5}} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\theta$ は第4象限の角なので、$\sin \theta < 0$ である必要があります。したがって、$\sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$ となります。

* $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用して $\tan \theta$ を求めます。

$\tan \theta = \frac{-\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}} = -\frac{1}{2}$

**(3) $\tan \theta = -\sqrt{7}$ ($\theta$は第4象限の角)**

* $1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ を利用して $\cos \theta$ を求めます。

$\frac{1}{\cos^2 \theta} = 1 + (-\sqrt{7})^2 = 1 + 7 = 8$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{8}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{1}{8}} = \pm \frac{1}{2\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\theta$ は第4象限の角なので、$\cos \theta > 0$ である必要があります。したがって、$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{4}$ となります。

* $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用して $\sin \theta$ を求めます。

$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta = -\sqrt{7} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{14}}{4}$

3. 最終的な答え

**(1)**

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan \theta = \frac{3\sqrt{7}}{7}$

**(2)**

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\tan \theta = -\frac{1}{2}$

**(3)**

$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{14}}{4}$