ベクトル $u = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$, $v = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}$, $w = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、 (1) 外積 $u \times v$ および $u \times w$ を計算せよ。 (2) ベクトル $u$ と $w$ によって作られる平行四辺形の面積を計算せよ。

1. 問題の内容

ベクトル $u = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$, $v = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}$, $w = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、

(1) 外積 $u \times v$ および $u \times w$ を計算せよ。

(2) ベクトル $u$ と $w$ によって作られる平行四辺形の面積を計算せよ。

2. 解き方の手順

(1) 外積の計算

外積は以下の公式を用いて計算します。

$a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$ のとき、

$a \times b = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}$

まず、$u \times v$ を計算します。

$u \times v = \begin{pmatrix} (-3)(-5) - (4)(0) \\ (4)(1) - (2)(-5) \\ (2)(0) - (-3)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 - 0 \\ 4 + 10 \\ 0 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 14 \\ 3 \end{pmatrix}$

次に、$u \times w$ を計算します。

$u \times w = \begin{pmatrix} (-3)(3) - (4)(-1) \\ (4)(-2) - (2)(3) \\ (2)(-1) - (-3)(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 + 4 \\ -8 - 6 \\ -2 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -14 \\ -8 \end{pmatrix}$

(2) 平行四辺形の面積の計算

ベクトル $u$ と $w$ によって作られる平行四辺形の面積は、外積 $u \times w$ のノルム (大きさ) で与えられます。

$||u \times w|| = \sqrt{(-5)^2 + (-14)^2 + (-8)^2} = \sqrt{25 + 196 + 64} = \sqrt{285}$

3. 最終的な答え

(1) $u \times v = \begin{pmatrix} 15 \\ 14 \\ 3 \end{pmatrix}$, $u \times w = \begin{pmatrix} -5 \\ -14 \\ -8 \end{pmatrix}$

(2) 平行四辺形の面積: $\sqrt{285}$