三角形ABCの外心Oが与えられており、$∠BAC = 40^\circ$、$∠OBA = 18^\circ$である。このとき、$∠OCA = x$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心Oが与えられており、$∠BAC = 40^\circ$、$∠OBA = 18^\circ$である。このとき、$∠OCA = x$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

* まず、三角形の内角の和は$180^\circ$であるから、三角形ABCにおいて、$∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180^\circ$が成り立つ。

* ここで、$∠ABC = ∠ABO + ∠OBC$、$∠BCA = ∠BCO + ∠OCA$である。

* 点Oは三角形ABCの外心なので、OA=OB=OC。したがって、三角形OAB、三角形OBC、三角形OCAはそれぞれ二等辺三角形である。

* 三角形OABは二等辺三角形より、$∠OAB = ∠OBA = 18^\circ$。また、$∠AOB = 180^\circ - 2 \times 18^\circ = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$。

* $∠BAC = ∠BAO + ∠OAC$より、$40^\circ = 18^\circ + ∠OAC$。したがって、$∠OAC = 40^\circ - 18^\circ = 22^\circ$。

* 三角形OCAは二等辺三角形より、$∠OCA = ∠OAC = 22^\circ$。よって、$x = 22^\circ$。

3. 最終的な答え

22°