点Oが三角形ABCの外心であるとき、$\angle BAC = 70^\circ$、$\angle ABO = 30^\circ$ のとき、$\angle P$ を求めなさい。

1. 問題の内容

点Oが三角形ABCの外心であるとき、$\angle BAC = 70^\circ$、$\angle ABO = 30^\circ$ のとき、$\angle P$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、外心Oは三角形ABCの外接円の中心であるため、OA=OBです。したがって、三角形OABは二等辺三角形なので、$\angle BAO = \angle ABO = 30^\circ$ です。

次に、$\angle OAC$ を求めます。$\angle OAC = \angle BAC - \angle BAO$ より、

$\angle OAC = 70^\circ - 30^\circ = 40^\circ$

同様に、OB=OCより三角形OBCも二等辺三角形です。

$\angle BOC$ は $\angle BAC$ の中心角であるので、$\angle BOC = 2 \times \angle BAC = 2 \times 70^\circ = 140^\circ$

三角形OBCの内角の和は180度なので、

$\angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^\circ$

$\angle OBC + \angle OCB = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$

三角形OBCは二等辺三角形なので、$\angle OBC = \angle OCB = 40^\circ / 2 = 20^\circ$

したがって、$\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = 30^\circ + 20^\circ = 50^\circ$

また、$\angle ACB = \angle OCB + \angle OCA = 20^\circ + \angle OCA$

三角形OACも二等辺三角形なので、$\angle OCA = \angle OAC = 40^\circ$

したがって、$\angle ACB = 20^\circ + 40^\circ = 60^\circ$

三角形の内角の和は180度なので、$\angle ABC + \angle BCA + \angle CAB = 180^\circ$

$50^\circ + 60^\circ + 70^\circ = 180^\circ$

$\angle BOC = 140^\circ$

$\angle BOP = x$ とおくと、$\angle COP = 140^\circ - x$

$\angle BAP = 30^\circ$

$\angle CAP = 40^\circ$

$\angle ABP = 20^\circ + 30^\circ = 50^\circ$

$\angle ACP = 20^\circ + 40^\circ = 60^\circ$

$\angle BAC = 70^\circ$

$\angle ABC = 50^\circ$

$\angle ACB = 60^\circ$

線分BPとCPは角の二等分線ではないので、内接円の中心ではない。

点OからBCに下ろした垂線の足がPになる。

三角形OBCは二等辺三角形なので、$\angle OBC = \angle OCB = (180-140)/2 = 20$

よって、線分OPは$\angle BOC$を二等分する。

$\angle COP = \angle BOP = 140/2 = 70$

したがって、$\angle OPC = \angle OPB = 90$

$\angle P = 90^\circ$

3. 最終的な答え

90