点Iが三角形ABCの内心であるとき、$\angle ABC = 56^\circ$, $\angle ICA = 30^\circ$ のとき、$\angle P$ を求めよ。

1. 問題の内容

点Iが三角形ABCの内心であるとき、$\angle ABC = 56^\circ$, $\angle ICA = 30^\circ$ のとき、$\angle P$ を求めよ。

2. 解き方の手順

内心Iは三角形の各内角の二等分線の交点である。したがって、$\angle IBC = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \times 56^\circ = 28^\circ$ である。また、$\angle ICB = \frac{1}{2} \angle ACB$ である。$\angle ACB$ の値は、三角形の内角の和が $180^\circ$ であることから求めることができる。三角形ABCにおいて、

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$

$\angle BAC$ が不明なので、これを求める必要がある。内心の定義から、$\angle ICA = 30^\circ$ なので、$\angle ACB = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$ となる。

したがって、

$\angle BAC + 56^\circ + 60^\circ = 180^\circ$

$\angle BAC = 180^\circ - 56^\circ - 60^\circ = 64^\circ$

ゆえに、$\angle IAC = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \times 64^\circ = 32^\circ$ である。

$\angle BIC = 180^\circ - (\angle IBC + \angle ICB) = 180^\circ - (28^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ$

$\angle P$ は $\angle BIC$ と等しいので、$\angle P = 122^\circ$ である。

3. 最終的な答え

122