三角形ABCにおいて、$AB = \sqrt{6}$、$\angle BAC = 75^\circ$、$\angle ABC = 45^\circ$である。点Aから直線BCに垂直な直線と直線BCとの交点をHとする。また、三角形ACHの外接円と直線ABとの交点のうち、AでないものをKとする。(1) $AH$, $BC$, $AC$を求める。(2) $\angle AKC$, $HK$, $AK$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = \sqrt{6}$、$\angle BAC = 75^\circ$、$\angle ABC = 45^\circ$である。点Aから直線BCに垂直な直線と直線BCとの交点をHとする。また、三角形ACHの外接円と直線ABとの交点のうち、AでないものをKとする。(1) $AH$, $BC$, $AC$を求める。(2) $\angle AKC$, $HK$, $AK$を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\angle ACB = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ = 60^\circ$である。

三角形ABHにおいて、$\angle AHB = 90^\circ$, $\angle ABH = 45^\circ$なので$\angle BAH = 45^\circ$となる。したがって、三角形ABHは直角二等辺三角形である。

$AH = BH$である。

$AB = \sqrt{6}$より、$AH = AB \sin 45^\circ = \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{3}$.

$BC = BH + HC$であり、$BH = AH = \sqrt{3}$である。

三角形AHCにおいて、$\angle AHC = 90^\circ$, $\angle ACH = 60^\circ$なので$\angle HAC = 30^\circ$となる。

$\frac{AH}{AC} = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$AC = \frac{2 AH}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$.

$\frac{HC}{AH} = \cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

$HC = \frac{AH}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$.

$BC = BH + HC = \sqrt{3} + 1$.

(2)

四角形AKCHは円に内接するので$\angle AKC = 180^\circ - \angle AHC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

三角形AKHにおいて、$\angle AKH = 90^\circ$, $\angle KAH = \angle BAH - \angle BAK = 45^\circ - \angle BAK$.

$\angle ACH = 60^\circ$より$\angle AKH = \angle ACH = 60^\circ$. したがって$\angle KAH = 30^\circ$.

$\angle BAK = \angle BAC - \angle HAC = 75^\circ$.

$\angle BAK = \angle CAK = 75 - 30 = 45^\circ$.

$AK = \frac{AH}{\cos \angle KAH} = \frac{\sqrt{3}}{\cos 30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2$.

$HK = AK \sin \angle KAH = AK \sin 30^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

3. 最終的な答え

AH = $\sqrt{3}$

BC = $1 + \sqrt{3}$

AC = 2

$\angle AKC = 90^\circ$

HK = 1

AK = 2