三角形ABCがあり、$AF:FB = 5:6$、$FG:GC = 1:3$である。このとき、$BD:DC$を求める問題。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、$AF:FB = 5:6$、$FG:GC = 1:3$である。このとき、$BD:DC$を求める問題。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を利用する。三角形AFCと直線BDに関して、メネラウスの定理より、

$$\frac{AD}{DC} \times \frac{CG}{GF} \times \frac{FB}{BA} = 1$$

$$\frac{BD}{DC} \times \frac{CG}{GF} \times \frac{FA}{AB} = 1$$

与えられた条件より、$AF:FB = 5:6$なので、$AF = 5k$、$FB = 6k$と置ける。

$AB = AF + FB = 5k + 6k = 11k$

よって、$AF/AB = 5k/11k = 5/11$

与えられた条件より、$FG:GC = 1:3$なので、$CG/GF = 3/1 = 3$

上記をメネラウスの定理の式に代入すると、

$$\frac{BD}{DC} \times 3 \times \frac{5}{11} = 1$$

$$\frac{15}{11} \times \frac{BD}{DC} = 1$$

$$\frac{BD}{DC} = \frac{11}{15}$$

3. 最終的な答え

$BD:DC = 11:15$