三角形ABCにおいて、$AF:FB = 2:3$、 $AE:EC = 4:5$ であるとき、$BD:DC$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AF:FB = 2:3$、 $AE:EC = 4:5$ であるとき、$BD:DC$を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理を用いることで解くことができます。チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、頂点A, B, Cからそれぞれ辺BC, CA, AB上に引いた線分AD, BE, CFが一点Gで交わるとき、以下の関係が成り立つというものです。

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$

この問題では、$AF:FB = 2:3$、$AE:EC = 4:5$なので、$\frac{AF}{FB} = \frac{2}{3}$、$\frac{CE}{EA} = \frac{5}{4}$です。これらをチェバの定理の式に代入します。

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{3} = 1$

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{10}{12} = 1$

$\frac{BD}{DC} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

3. 最終的な答え

$BD:DC = 6:5$